Bài 1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đường tròn nội tiếp tam giác

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
datcoder

Cho tam giác đều ABC cạnh a, ba đường trung tuyến AM, BN, CP cắt nhau tại trọng tâm O (Hình 14).

a) AM, BN, CP có là các đường phân giác của tam giác ABC hay không?

b) Điểm O có là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC hay không?

c) Tính OM theo a.

datcoder
14 tháng 10 lúc 23:06

a)     Vì tam giác ABC đều nên ba đường trung tuyến AM, BN, CP đồng thời là ba đường phân giác.

b)    Do O là giao của 3 đường phân giác trong tam giác ABC nên O cách đều 3 cạnh của tam giác, do đó OM = ON = OP.

Vậy đường tròn (O) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

c)     Xét tam giác ABC đều có đường trung tuyến AM nên \(BM = \frac{{BC}}{2} = \frac{a}{2}\) và AM đồng thời là đường cao, do đó \(\widehat {AMB} = 90^\circ .\)

Xét tam giác AMB vuông tại M có:

\(AM = \sqrt {A{B^2} - B{M^2}} \) (Pytago).

Nên \(AM = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{\sqrt 3 a}}{2}.\)

Mà \(OM = \frac{1}{3}AM\)(do AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC).

Suy ra \(OM = \frac{1}{3}.\frac{{\sqrt 3 a}}{2} = \frac{{\sqrt 3 a}}{6}.\)