Gọi M là trung điểm của cạnh BC ta có :
\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}\)
Mặt khác :
\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)
Theo giả thiết ta có :
\(\left|2\overrightarrow{AM}\right|=\left|\overrightarrow{CB}\right|=\left|\overrightarrow{AD}\right|\) hay \(AM=\dfrac{BC}{2}\)
Ta suy ra ABC là tam giác vuông tại A
Ba điểm A, B, C phân biệt tạo nên vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}\). Vậy tam giác ABC là tam giác gì ?
Cho tam giác ABC có \(\widehat{BAC}=60^0;AB=4;AC=6\)
a) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}\), độ dài cạnh BC và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
b) Lấy các điểm M, N định bởi : \(2\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{NB}+x\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{0};\left(x\ne-1\right)\). Định \(x\) để AN vuông góc với BM ?
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với \(A\left(-5;6\right);B\left(-4;-1\right);C\left(4;3\right)\) :
a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC
b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) ngắn nhất ?
cho △ABC. tìm tập hợp điểm M thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\) bằng \(\dfrac{3}{2}\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|\)
Cho tình hình ABCD có AB = 3a; AD = 5a. Góc BAD bằng \(120^0\) :
a) Tìm các tích vô hướng sau : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}\)
b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c
a) Chứng minh rằng : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}\)
b) Chứng minh rằng : \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AI^2-\dfrac{BC^2}{4}\) với I là trung điểm của BC
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, với M là điểm bất kì trong mặt phẳng, chứng minh hệ thức sau ;
\(MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3MG^2\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm \(A\left(7;-3\right);B\left(8;4\right);C\left(1;5\right)\) :
a) Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông
Cho ΔABC, J thỏa mãn \(2\overrightarrow{JA}+5\overrightarrow{JB}+3\overrightarrow{JC}\) = \(\overrightarrow{0}\) . E ∈ AB thỏa mãn \(\overrightarrow{AE}\) = \(x.\overrightarrow{AB}\)
a. biểu diễn \(\overrightarrow{CE},\overrightarrow{CJ}theo\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\)
b. tìm x sao cho C, E, F thẳng hàng
Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M,N thoả \(\overrightarrow{BM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)
Gọi I là giao điểm AM và CN. Chứng minh: \(\widehat{BIC}=90^0\)
