Question

Cho S.ABCD, SA=SB=SD=3a, ABC=ADC=90, BAD=60, BD=2a. Tính d(S,(ABCD))

Answer 1

\(SA=SB=SD\Rightarrow\) hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) trùng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}=90^0\Rightarrow\) tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC

Gọi H là trung điểm AC \(\Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABCD

\(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH=d\left(S;\left(ABCD\right)\right)\)

Áp dụng định lý hàm sin trong tam giác ABD:

\(\dfrac{BD}{sin\widehat{BAD}}=2R=2HA\Rightarrow HA=\dfrac{2a}{2.sin60^0}=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow SH=\sqrt{SA^2-HA^2}=\dfrac{a\sqrt{69}}{3}\)