Question

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Gọi M. N theo thứ tự là trung điểm các cạnh BB', C'A' và P là điểm trên cạnh B'C' sao cho C'P = 2PB'.

Chứng minh rằng A, M, N và P đồng phẳng.

Answer 1

Đặt \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{c}\) khi đó

\(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{A'N}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

\(\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}'+\overrightarrow{B'P}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)

Do \(c\frac{2}{3}.\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}.\overrightarrow{c}\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)\)

Nên \(3\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{AN}\)

Suy ra A, M, N, P đồng phẳng

Answer 2