Question

Cho hình chữ nhật ABCD có tâm \(I\left(\frac{1}{2};0\right)\) đường thẳng chứa cạnh AB có phương trình : \(x-2y+2=0\) và \(AB=2AD\).

Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật, biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.

Answer 1

\(d\left(I;AB\right)=\frac{\left|\frac{1}{2}+2\right|}{\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow AD=2d\left(I;AB\right)=\sqrt{5}\)và \(AB=2AD=2\sqrt{5}\)

Do đó \(IA=IB=IC=ID=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}\)

Gọi \(\omega\) là đường tròn tâm I, bán kính \(R=IA\) thế thì  \(\omega\)  có phương trình \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{25}{4}\)

Do vậy tọa độ của A, B là nghiệm của hệ :

\(\begin{cases}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+y^2=\frac{25}{4}\\x-2y+2=0\end{cases}\)

Giải hệ thu được \(A\left(-2;0\right);B\left(2;2\right)\) (do A có hoành độ âm), từ đó , do I là trung điểm của AC và BD suy ra \(C\left(3;0\right);D\left(-1;-2\right)\)