Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a, tâm O. Hai mặt bên SAB và SBC cùng vuông góc với đáy, SB=a.căn2. Tính khoảng cách từ G đến (SAC) với G là trọng tâm của tam giác SCD

Answer 1

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\\\left(SBC\right)\perp\left(ABCD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow SB\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi N là trung điểm CD

\(SG=\frac{2}{3}SN\Rightarrow d\left(G;\left(SAC\right)\right)=\frac{2}{3}d\left(N;\left(SAC\right)\right)\)

\(CN=\frac{1}{2}CD\Rightarrow d\left(N;\left(SAC\right)\right)=\frac{1}{2}d\left(D;\left(SAC\right)\right)\)

\(OB=OD\Rightarrow d\left(D;\left(SAC\right)\right)=d\left(B;\left(SAC\right)\right)\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SAC\right)\right)=\frac{1}{3}d\left(B;\left(SAC\right)\right)\)

Do ABCD là hình vuông \(\Rightarrow OB\perp AC\)

Từ B kẻ \(BH\perp SO\Rightarrow BH\perp\left(SAC\right)\Rightarrow BH=d\left(B;\left(SAC\right)\right)\)

\(BO=\frac{1}{2}AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(\frac{1}{BH^2}=\frac{1}{SB^2}+\frac{1}{BO^2}\Rightarrow BH=\frac{SB.OB}{\sqrt{SB^2+OB^2}}=\frac{a\sqrt{10}}{5}\)

\(\Rightarrow d\left(G;\left(SAC\right)\right)=\frac{a\sqrt{10}}{15}\)