Question

Cho hàm số f(x) = xn (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left(x\right)=\dfrac{x^{n-1}}{n+1}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int x^ndx\).

b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int kx^ndx\) (k là hằng số khác 0).

Answer 1

a) Ta có: \(F'\left( x \right) = {\left( {\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)'} = \frac{{\left( {n + 1} \right){x^n}}}{{n + 1}} = {x^n} = f\left( x \right)\) nên hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Do đó, \(\int {{x^n}dx}  = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).

b) \(\int {k{x^n}dx}  = k\int {{x^n}dx}  = \frac{{k.{x^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\).