Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và một điểm $C$ đi động trên đường tròn đó. Vẽ đường tròn $(I)$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $C$ và tiếp xúc với đường kính $AB$ tại $D$, đường tròn này cắt $CA$ và $CB$ lần lượt tại các điểm thứ hai là $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm $M$, $I$, $N$ thẳng hàng.
b) \(ID\perp MN\).
c) Đường thẳng $CD$ đi qua một điểm cố định.
Xét đg tròn tâm O đg kính AB tại D
Vì góc ACB là có nội tiếp chắn nửa đường tròn của (O)
=> góc ACB= 90 độ
Xét (I) có góc MCN là góc nội tiếp chắn cung MN
mà góc MCN= 90 độ
=> MN là đường kính của (I)
=> 3 điểm M,I,N thẳng hàng
b) vì Δ CIN cân tại I( IC=IN=R)
=> góc ICN= góc INC
lại có Δ COB cân tại O(OC=OB=R)
=> góc OCB= góc OBC
=> góc INC= góc OBC ( cùng = góc OCB)
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của 2 đường thẳng MN và AB
=> MN // AB
lại có ID vuông góc với AB
=> ID vuông góc với MN( đpcm)
a. Xét (O) có \(\widehat{ACB}\) = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
hay \(\widehat{MCN}=90^{0}\)
=> MN là đường kính của (I)
=> M,I,N thẳng hàng
b. Xét ΔICN cân tại I ( IC=IN )
\(\widehat{ICN}=\widehat{INC}\) (1)
Xét ΔOCB cân tại O ( OA=OB )
\(\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{OBC}=\widehat{INC}\)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị của MN và AB
=> MN // AB
Ta có
⊥MN
c.Xét (I) có ⊥MN
=> D là điểm chính giữa của cung MN
=> Cung DM = cung DN
=>\(\widehat{MCD}=\widehat{NCD}\) ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )
=> CD là tia pg\(\widehat{ACB}\)
Xét (O) có CD là tia pg\(\widehat{ACB}\)
=> Cung AE = cung BE
hay E là điểm chính giữa của cung AB
=> Điểm E cố định trên (O)
=> CD qua E cố định
