Bài 1: Căn bậc hai

michelle holder

cho a,b,c dương khác nhau đôi một thỏa \(\left\{{}\begin{matrix}ab+bc=2c^2\\2a\le c\end{matrix}\right.\)

tìm Max \(\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-c}+\dfrac{c}{c-a}\)

Hung nguyen
12 tháng 5 2017 lúc 9:56

Đặt \(\dfrac{b}{c}=x\)

Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}ab+bc=2c^2\\2a\le c\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}.x+x=2\\\dfrac{a}{c}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{2-x}{x}\\\dfrac{2-x}{x}\le\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{c}=\dfrac{2-x}{x}\\x\ge\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta lại có:

\(\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-c}+\dfrac{c}{c-a}=\dfrac{\dfrac{a}{c}}{\dfrac{a}{c}-\dfrac{b}{c}}+\dfrac{\dfrac{b}{c}}{\dfrac{b}{c}-1}+\dfrac{1}{1-\dfrac{a}{c}}\)

\(=\dfrac{\dfrac{2-x}{x}}{\dfrac{2-x}{x}-x}+\dfrac{x}{x-1}+\dfrac{1}{1-\dfrac{2-x}{x}}\)

\(=\dfrac{3x^2+8x-4}{2x^2+2x-4}\)

\(=\dfrac{27}{5}+\dfrac{39x^2+14x-88}{2x^2+2x-4}=\dfrac{27}{5}+\dfrac{\left(3x-4\right)\left(13x+22\right)}{2\left(x-1\right)\left(x+2\right)}\ge\dfrac{27}{5}\)

Vậy GTNN là \(\dfrac{27}{5}\) dấu = xảy ra khi \(x=\dfrac{4}{3}\)


Các câu hỏi tương tự
michelle holder
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Phan PT
Xem chi tiết
Khanh7c5 Hung
Xem chi tiết
phan thị minh anh
Xem chi tiết
THÁNH TOÁN
Xem chi tiết
michelle holder
Xem chi tiết
Ngọc Hạnh
Xem chi tiết
Ngọc Hạnh
Xem chi tiết