Question

Cho 3 điểm \(A\left(1;2;-3\right);B\left(2;4;5\right);C\left(3;6;7\right)\) và mặt phẳng \(\left(P\right):x+y+z-3=0\)

Tìm trên mặt phẳng (P) điểm D sao cho vecto \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\) có độ dài ngắn nhất

Answer 1

Gọi G là điểm sao cho \(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\) (G là trọng tâm của tam giác ABC)

Khi đó \(G\left(2;4;3\right)\) và \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=3\overrightarrow{DG}\)

Vậy điểm \(D\in\left(P\right)\) mà \(\left|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}\right|\) bé nhất khi và chỉ khi D là hình chiếu của G trên mặt phẳng (P). Khi đó vecto \(\overrightarrow{GD}\) cùng phương với vecto pháp tuyến của (P) và điểm D nằm trên mặt phẳng (P) nên ta có hệ :

\(\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{1}=\frac{z-3}{1}\\x+y+z-3=0\end{cases}\)

Giải hệ ta được : x = 0 ;y = 2; z = 1

Vậy điểm D cần tìm là \(D\left(0;2;1\right)\)