Question

a) Trong không gian Oxyz, cho điểm M(x; y; z) thay đổi có tọa độ luôn thỏa mãn phương trình x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 11 = 0. (*)

i) Biến đổi (*) về dạng: (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 25.

ii) Chứng tỏ M(x; y; z) luôn thuộc mặt cầu (S). Tìm tâm và bán kính của (S).

b) Bằng cách biến đổi phương trình x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 15 = 0 (**) về dạng (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = −1, hãy cho biết phương trình (**) có thể là phương trình mặt cầu hay không?

Answer 1

a)

i) Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 11 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) - 25 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\end{array}.\)

ii) Do điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) có toạ độ thoả mãn phương trình (*), suy ra điểm \(M\) thoả mãn phương trình \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 25\). Vậy điểm \(M\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {25}  = 5\).

b) Ta có

\(\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z + 15 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + \left( {{y^2} - 4y + 4} \right) + \left( {{z^2} - 6z + 9} \right) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} =  - 1\end{array}.\)

Do \( - 1 < 0\), nên phương trình trên không là phương trình mặt cầu. Suy ra (**) không là phương trình mặt cầu.