Question

1)Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng MO có chứa điểm A,vẽ nữa đương tròn đường kính MF. Nửa đường tròn này cắt tiếp tuyến tại E của ( O) tại K . Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng CO và KC > CMR : đường thẳng MS vuông góc với đường thẳng KC.

Answer 1

Xét MEA và MBF có :

\(\widehat{EMA}\) chung, \(\widehat{MEA}=\widehat{MBF}\) (AEFB nội tiếp)

=> ΔMEA ∽ ΔMBF (gg) => \(\dfrac{ME}{MB}=\dfrac{MA}{MF}\)

=> MA. MB = ME. MF

Có: ΔMCA ∽ ΔMBC (gg) => \(\dfrac{MC}{MB}=\dfrac{MA}{MC}\)

=> MC² = MA. MB

ΔMCO vuông tại C, CH đường cao : MC² = MH. MO

Do đó : MA. MB = MH. MO

Suy ra : ΔMHA ∽ ΔMBO (cgc)

AHOB nội tiếp (tứ giác có góc trong bằng góc đối ngoài)

\(\widehat{MKF}\) = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

ΔMKF vuông tại K, KE đường cao : MK2 = ME. MF

ΔMCE ∽ ΔMFC (gg) => \(\dfrac{MC}{MF}=\dfrac{ME}{MC}\) => MC² = ME. MF

Vậy: MK² = MC² => MK = MC

Ta có: \(\widehat{SCM}=\widehat{SKM}=90^o\) => tứ giác SCMK nội tiếp đường tròn đường kính SM.

Mà: MK = MC nên MK = MC => MS ⊥ KC ( đường kính đi qua điểm chính giữa cung)