Hệ pt \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\left(x+1\right)\left(y+1\right)+xy=-6\left(1\right)\\2y\left(y+1\right)\left(x+1\right)\text{yx}=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x\left(x+1\right)\left(y+1\right)=-6-xy\\2y\left(y+1\right)\left(x+1\right)=6-xy\end{matrix}\right.\)
Thay x=0, y=0 thì hệ ko thỏa mãn. Thay x=-1, y=-1 hệ cũng k thỏa
\(\Rightarrow\left(x;y\right)\ne\left(0;0\right),xy\ne0,x+1\ne0,y+1\ne0\Rightarrow6-xy\ne0\) (*)
Chí từng vế của 1 pt cho nhau:
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y}=\dfrac{-6-xy}{6-xy}\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)=6\left(x+y\right)\)
Thay x=y thì hpt có vế phải = nhau, vế trái khác nhau => x-y\(\ne0\) (**)
\(\Rightarrow xy=\dfrac{6\left(x+y\right)}{x-y}\left(3\right)\)
Cộng từng vế (1) và (2) của hệ ta đc pt: \(2\left(x+y\right)\left(x+1\right)\left(y+1\right)+2xy=0\left(4\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+xy+1\right)+xy=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+1+\dfrac{6\left(x+y\right)}{x-y}+\dfrac{6\left(x+y\right)}{x-y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+1+\dfrac{6\left(x+y+1\right)}{x-y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y+1\right)\left(1+\dfrac{6}{x-y}\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+y=0\\x+y+1=0\\1+\dfrac{6}{x-y}=0\end{matrix}\right.\)
- Với \(x+y=0\Leftrightarrow x=-y\)
Thế vào hệ \(\Rightarrow-2y^2=0\Leftrightarrow y=0,x=O\) (ko thỏa *)
- Với \(x+y+1=0\Leftrightarrow x=-y-1\). Thế vào pt (1) của hệ ta đc:
\(2y^3+3y^2+y+6=0\Leftrightarrow\left(y+2\right)\left(2y^2-y+3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y+2=0\Leftrightarrow y=-2\\2y^2-y+3=0\left(VN\right)\end{matrix}\right.\)
- Với y=-2 => x=1. Thế vào thì hệ thỏa, vậy có nghiệm(x;y)=(1;-2)
- Với \(1+\dfrac{6}{x-y}=0\Leftrightarrow x-y+6=0\Leftrightarrow x=y-6\)
Thế x=y-6 vào pt (2) của hệ:
\(\left(2\right)\Leftrightarrow2y^3-7y^2-16y-6=0\Leftrightarrow\left(2y+1\right)\left(y^2-4y-6\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2y+1=0\\y^2-4y-6=0\end{matrix}\right.\)
\(y^2-4y-6=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y_1=2+\sqrt{10}\\y_2=2-\sqrt{10}\end{matrix}\right.\)
\(2y+1=0\Leftrightarrow y_3=-\dfrac{1}{2}\)
..................
