Xét tính bị chặn của các dãy số với số hạng tổng quát sau :
a) \(x_n=\dfrac{5n^2}{n^2+3}\)
b) \(y_n=\left(-1\right)^n\dfrac{2n}{n+1}\sin n\)
c) \(z_n=n\cos n\pi\)
Ôn tập cuối năm môn Đại số 11
Chứng minh rằng dãy số sau đây tăng và bị chặn trên :
\(x_1=\dfrac{1}{5+1};x_2=\dfrac{1}{5+1}+\dfrac{1}{5^2+1};x_3=\dfrac{1}{5+1}+\dfrac{1}{5^2+1}+\dfrac{1}{5^3+1},.....;x_n=\dfrac{1}{5+1}+\dfrac{1}{5^2+1}+.....+\dfrac{1}{5^n+1}\)
Tính các giới hạn :
a) limlimits_{xrightarrow1}dfrac{4x^5+9x+7}{3x^6+x^3+1}
b) limlimits_{xrightarrow2}dfrac{x^3+3x^2-9x-2}{x^3-x-6}
c) limlimits_{xrightarrow-1}dfrac{x+1}{sqrt{6x^2+3}+3x}
d) limlimits_{xrightarrow0}dfrac{sqrt{9+5x+4x^2}-3}{x}
e) limlimits_{xrightarrow2}dfrac{sqrt[3]{10-x}-2}{x-2}
f) limlimits_{xrightarrow1}dfrac{sqrt{x+8}-sqrt{8x+1}}{sqrt{5-x}-sqrt{7x-3}}
Đọc tiếp
Tính các giới hạn :
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{4x^5+9x+7}{3x^6+x^3+1}\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^3+3x^2-9x-2}{x^3-x-6}\)
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-1}\dfrac{x+1}{\sqrt{6x^2+3}+3x}\)
d) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{9+5x+4x^2}-3}{x}\)e) \(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{\sqrt[3]{10-x}-2}{x-2}\)
f) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\dfrac{\sqrt{x+8}-\sqrt{8x+1}}{\sqrt{5-x}-\sqrt{7x-3}}\)
Tính các giới hạn :
a) limlimits_{xrightarrow+infty}left(dfrac{x^3}{3x^2-4}-dfrac{x^2}{3x+2}right)
b) limlimits_{xrightarrow+infty}left(sqrt{9x^2+1}-3xright)
c) limlimits_{xrightarrow-infty}left(sqrt{2x^2-3}-5xright)
d) limlimits_{xrightarrow+infty}dfrac{sqrt{2x^2+3}}{4x+2}
e) limlimits_{xrightarrow-infty}dfrac{sqrt{2x^2+3}}{4x+2}
Đọc tiếp
Tính các giới hạn :
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\dfrac{x^3}{3x^2-4}-\dfrac{x^2}{3x+2}\right)\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(\sqrt{9x^2+1}-3x\right)\)
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(\sqrt{2x^2-3}-5x\right)\)
d) \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\dfrac{\sqrt{2x^2+3}}{4x+2}\)e) \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\dfrac{\sqrt{2x^2+3}}{4x+2}\)
Tính các giới hạn
a) \(\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{\sin x-\sin a}{x-a}\)
b) \(\lim\limits_{x\rightarrow1}\left(1-x\right)\tan\dfrac{\pi x}{2}\)
c) \(\lim\limits_{x\rightarrow\dfrac{\pi}{3}}\dfrac{2\sin^2x+\sin x-1}{2\sin^2x-3\sin x+1}\)
d) \(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\tan x-\sin x}{\sin^3x}\)
Hướng dẫn giải
Thảo luận (1)
Tôi chẳng thể hiểu nổi
Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) ydfrac{1+x-x^2}{1-x+x^2}
b) ydfrac{left(2-x^2right)left(3-x^3right)}{left(1-xright)^2}
c) ycos2x-2sin x
d) ydfrac{cos x}{2sin^2x}
e) ycos^2dfrac{x}{3}tandfrac{x}{2}
f) ysqrt{sinleft(2x-dfrac{pi}{6}right)}
g) ycosdfrac{x}{x+1}
h) ydfrac{x^2-1}{sin3x}
i) y3sin^2xcos x+cos^2x
k) ysqrt{7-4x}cot3x
Đọc tiếp
Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) \(y=\dfrac{1+x-x^2}{1-x+x^2}\)
b) \(y=\dfrac{\left(2-x^2\right)\left(3-x^3\right)}{\left(1-x\right)^2}\)
c) \(y=\cos2x-2\sin x\)
d) \(y=\dfrac{\cos x}{2\sin^2x}\)
e) \(y=\cos^2\dfrac{x}{3}\tan\dfrac{x}{2}\)
f) \(y=\sqrt{\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)}\)
g) \(y=\cos\dfrac{x}{x+1}\)
h) \(y=\dfrac{x^2-1}{\sin3x}\)
i) \(y=3\sin^2x\cos x+\cos^2x\)
k) \(y=\sqrt{7-4x}\cot3x\)
Cho hàm số :
\(f\left(x\right)=\left\{{}\begin{matrix}x^2\sin\dfrac{1}{x},\left(x\ne0\right)\\A,\left(x=0\right)\end{matrix}\right.\)
Xác định A để \(f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=0\). Với giá trị A tìm được, hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) không ?
Hướng dẫn giải
Thảo luận (1)
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|f\left(x\right)\right|=\lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2sin\dfrac{1}{x}\right|< \lim\limits_{x\rightarrow0}\left|x^2\right|=0\).
Vậy \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=0\).
\(f\left(0\right)=A\).
Để hàm số liên tục tại \(x=0\) thì \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left(x\right)=f\left(0\right)\Leftrightarrow A=0\).
Để xét hàm số có đạo hàm tại \(x=0\) ta xét giới hạn:
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(0\right)}{x-0}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x^2sin\dfrac{1}{x}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}xsin\dfrac{1}{x}=0\).
Vậy hàm số có đạo hàm tại \(x=0\).
Cho hàm số : \(y=-x^4-x^2+6\) (C)
a) Tính \(y',y"\)
b) Tính \(y'''\left(-1\right);y'''\left(2\right)\)
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y=\dfrac{1}{6}x-1\)
Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=3-2n\)
a) Xét tính tăng, giảm của dãy số
b) Chứng minh rằng dãy số trên là cấp số cộng
c) Tính tổng của 100 số hạng đầu của dãy số
Tìm cấp số nhân gồm 7 số hạng, biết :
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_2+u_3=26\\u_5+u_6+u_7=2106\end{matrix}\right.\)