Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên \(n\) thì tích \(\left(n+3\right)\left(n+6\right)\) chia hết cho 2 ?
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai ?
a) Số có chữ số tận cùng là 8 thì chia hết cho 2
b) Số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 8
c) Số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng bằng 0
d) Số có chữ số tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5 và chia hết cho 2
a) Số có chữ số tận cùng là 8 thì chia hết cho 2 : Đúng là do nếu trong các số 0;2;4;6;8 có tận cùng sẽ chia hết cho 2 nên 8 là có thể .
b) Số chia hết cho 2 thì có chữ số tận cùng là 8 : Sai vì không phải riêng số 8 .
c) Số chia hết cho 5 thì có chữ số tận cùng bằng 0 : Sai vì không riêng gì số 0 còn số 5 .
d) Số có chữ số tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 5 và chia hết cho 2 .
Có bao nhiêu số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia cho 5 dư 3 ?
Các số thảo mãn là : 3 ; 8 ; 13 ; ....; 93 ; 98
Khoảng cách giữa các số là 5 vì 3 + 5 = 8 ; 8 + 5 = 13 ; 13 + 5 = 18 ; ...
Số chữ số tự nhiên nhỏ hơn 100 chia cho 5 dư 3 là :
( 98 - 3 ) : 5 + 1 = 20 số
Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên thì tích \(n\left(n+5\right)\) chia hết cho 2 ?
Xét ta có 2 trường hợp :
TH1 : Với k là số chẵn ( 2k với k thuộc N ) ta có :
2k .( 2k+5)
= 4 . k2 + 10 . k
= 2.(2 . k2 + 5k ) [ chia hết cho 2 ]
TH2 : Với k là số lẻ ( 2k + 1 với k thuộc N ) ta có :
( 2k + 1 ) . ( 2k + 1 + 5 )
= 2k . ( 2k + 6 ) + 2k + 6
= 4 k2 + 12k + 2k + 6
= 2 . ( 2 k2 + 6k + k + 3 ) [ chia hết cho 2 ]
Gọi \(A=n^2+n+1,\left(n\in\mathbb{N}\right)\), chứng tỏ rằng :
a) A không chia hết cho 2
b) A không chia hết cho 5
\(A=n^2+n+1\left(n\in N\right)\\ A=n\cdot n+n\cdot1+1\\ A=n\cdot\left(n+1\right)+1\)
a) Ta có: \(n\cdot\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp, sẽ có một trong hai số là số chẵn \(\Rightarrow n\cdot\left(n+1\right)⋮2\)
Mà \(1⋮̸2\) \(\Rightarrow n\cdot\left(n+1\right)+1⋮̸2\Leftrightarrow A⋮̸2\)
Vậy \(A⋮̸2\)
b)
Ta có: \(n\cdot\left(n+1\right)\) là tích hai số tự nhiên liên tiếp có chữ số tận cùng là 0, 2, 6 \(\Rightarrow\) \(n\cdot\left(n+1\right)+1\) có chữ số tận cùng là 1, 3, 7 không chia hết chia 5
Vậy \(A⋮̸5\)
Ta xét hai trường hợp
Nếu n chia hết cho 2 \(\Rightarrow n=2k\left(k\in n\right)\)
\(\Rightarrow\left(n+3\right)\left(n+6\right)=\left(2k+3\right)\left(2k+6\right)\)
\(=2k.2k+2k.6+3.2k+3.6\)
\(=2k^2+2k.6+2k.3+2.9\)
\(=2\left(k^2+6k+3k+9\right)⋮2\)
Nếu n chia cho 2 dư 1 \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(\Rightarrow\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+6\right)=\left(2k+4\right)\left(2k+7\right)\)
\(=2k.2k+2k.7+2k.4+4.7\)
\(=2k^2+2k.7+2k.4+2.14=2\left(k^2+7k+4k+14\right)⋮2\)
Vậy \(\left(n+3\right)\left(n+6\right)⋮2\left(n\in N\right)\)