Các hệ thức lượng giác trong tam giác và giải tam giác

CÁC HỆ THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A ( = 900), ta có:

1. b2= a.b’;  c= a.c’

2. Định lý Pitago : a2 = b2 + c2

3. a.h = b.c

4. h= b’.c’

5.  =  + 

1. Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.

Ta có các hệ thức sau:   a2 = b2 + c– 2bc.cosA   (1)

                                   b2 = a2 + c– 2bc.cosB   (2)

                                   c2 = a2 + b– 2bc.cosC   (3)

Hệ quả: Từ định lí cosin suy ra:

cosA =             cosB = 

cosC = 

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma, mb và mlà độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. Ta có

 =  

 = 

 = 

2. Định lí sin

Định lí: Trong tam giác ABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

 =  =  = 2R

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác 

Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu ha, hb và hlà các đường cao của tam giác ABC lần lượt vẽ từ các đình A, B, C và S là diện tích tam giác đó.

Diện tích S của tam giác ABC được tính theo một trong các công thức sau

S =  ab sinC=  bc sinA = ca sinB                                     (1)

S =                                                                                (2)

S = pr                                                                                   (3)

S =   (công thức  Hê – rông) (4)

3. Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó.

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác.

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về giải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc 

    cosA =        

    cosB = 

    cosC = 

Chú ý: 

1. Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2. Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tích vô hướng của hai vector và ứng dụng

Hỏi đáp

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...