\(\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}+3\sqrt{\dfrac{x-1}{x+3}}=4\left(1\right)\)

Đặt \(\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=a\left(a\ge0\right)\Rightarrow\sqrt{\dfrac{x-1}{x+3}}=\dfrac{1}{a}\)

\(\left(1\right)\Rightarrow a+\dfrac{3}{a}=4\)

\(\Leftrightarrow a^2+3=4a\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=3\end{matrix}\right.\left(\text{nhận}\right)\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=1\\\sqrt{\dfrac{x+3}{x-1}}=3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{x+3}{x-1}=1\\\dfrac{x+3}{x-1}=9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=x-1\\x+3=9x-9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3=-1\left(\text{vô lý}\right)\\x=\dfrac{3}{2}\left(\text{nhận}\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy (1) có tập n_o \(S=\left\{\dfrac{3}{2}\right\}\)

\(\sqrt{\dfrac{x+56}{16}+\sqrt{x-8}}=\dfrac{x}{8}\) (1). Điều kiện: \(x\ge8\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{x-8}{16}+2\times2\times\dfrac{\sqrt{x-8}}{4}+4}=\dfrac{x}{8}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{x-8}}{4}+2\right)^2}=\dfrac{x}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{x-8}}{4}+2=\dfrac{x}{8}\) \(\left(\dfrac{\sqrt{x-8}}{4}+2\ge\dfrac{9}{4}>0\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-8}+16=x\)

\(\Leftrightarrow x-8-2\sqrt{x-8}+1=9\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-8}-1\right)^2=9\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-8}-1=3\) \(\left(\sqrt{x-8}-1\ge-1>-3\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-8}=4\)

\(\Leftrightarrow x=24\left(\text{nhận}\right)\)

Vậy (1) có tập n_o \(S=\left\{24\right\}\).

- Max

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz, ta có:

\(A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)

\(\Rightarrow A^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)

\(\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)=6\)

\(\Rightarrow A\le\sqrt{6}\left(A>0\right)\)

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}=5\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-2\right)+\left(\sqrt{2x-1}-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-1-4}{\sqrt{x-1}+2}+\dfrac{2x-1-9}{\sqrt{2x-1}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x-5}{\sqrt{x-1}+2}+\dfrac{2\left(x-5\right)}{\sqrt{2x-1}+3}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+2}+\dfrac{2}{\sqrt{2x-1}+3}\right)\left(x-5\right)=0\)

\(\Rightarrow x=5\)

5 phút 

vì rán tất cả 10 quả

Sự phân chia phương pháp luận biện chứng và phương pháp luận siêu hình được dựa trên:

A. mặt thứ hai vấn đề cơ bản của Triết học. 

B. mặt thứ nhất vấn đề cơ bản của Triết học. 

C. các thức vận động phát triển của sự vật, hiện tượng. 

D. vấn đề cơ bản của Triết học.

\(\sqrt{3x+1}-\sqrt{6-x}+3x^2-14x-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3x+1}-4\right)+\left(1-\sqrt{6-x}\right)+\left(3x^2-14-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3x+1-16}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1-6+x}{1+\sqrt{6-x}}+\left(x-5\right)\left(3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3\left(x-5\right)}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{x-5}{1+\sqrt{6-x}}+\left(x-5\right)\left(3x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{3}{\sqrt{3x+1}+4}+\dfrac{1}{1+\sqrt{6-x}}+3x+1\right)\left(x-5\right)=0\)

\(\Rightarrow x=5\)

. . .

\(\sqrt{2x^2-4x+5}-x+4=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2-4x+5}=x-4\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-4\ge0\\2x^2-4x+5=x^2-8x+16\end{matrix}\right.\)

Tự làm tiếp nhé.

. . .

\(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x+6}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}=\sqrt{x+6}-\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow2x+3=x+6-2\sqrt{\left(x+6\right)\left(x-1\right)}+x-1\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x^2+5x-6}=2\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x-6=1\)

Tự làm tiếp nhé.

. . .

\(x+y+\dfrac{1}{2}=\sqrt{x}+\sqrt{y}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(y-\sqrt{y}+\dfrac{1}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{y}-\dfrac{1}{2}\right)^2=0\)

Tự làm tiếp nhé.

\(x^2-2-2\sqrt{4x-7}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x-7-2\sqrt{4x-7}+1\right)+\left(x^2-4x+4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x-7}-1\right)^2+\left(x-2\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{4x-7}-1=0\\x-2=0\end{matrix}\right.\)

Tự làm tiếp nhé.

. . .

\(4x^2-5x+1+2\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(4x-1\right)+2\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}\left[\left(4x-1\right)\sqrt{x-1}+2\right]=0\)

\(\Rightarrow x=1\)

. . .

\(\sqrt{x^2-4x+4}+\sqrt{x^2-6x+9}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-2\right)^2}+\sqrt{\left(x-3\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|x-2\right|+\left|x-3\right|=1\)

\(VT=\left|x-2\right|+\left|3-x\right|\ge\left|x-2+3-x\right|=1=VP\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x-2\right)\left(3-x\right)\ge0\)

Đến đây lập bảng xét dấu

. . .

\(x^2-x+2=2\sqrt{x^2-x+1}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-x+1}-1\right)^2=0\)

Tự làm tiếp nhé.

Điều kiện: \(x;y>1\)

\(A=\dfrac{\left(x^3+y^3\right)-\left(x^2+y^2\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

\(=\dfrac{x^2}{y-1}+\dfrac{y^2}{x-1}\)

\(\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)

Đặt \(x+y=a\left(a>2\right)\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{a^2}{a-2}=\dfrac{8\left(a-2\right)+\left(a^2-8a+16\right)}{a-2}=8+\dfrac{\left(a-4\right)^2}{a-2}\ge8\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = 2

Vậy \(Min_A=8\Leftrightarrow x=y=2\)