Tạm gọi: (1-2m)x-my+10=0 (d1);

-3x-2y+6=0 (d2).

(d1) có VTCP là \(\overrightarrow{n_1}\)(1-2m;-m)

(d2) có VTCP là \(\overrightarrow{n_2}\)(-3;-2)

(d1)⊥(d2) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\left(1-2m;-m\right).\left(-3;-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-3+6m+2m=0\Leftrightarrow8m=3\Leftrightarrow m=\frac{3}{8}\)

Vậy m=\(\frac{3}{8}\)thì (d1) vuông góc (d2)

Mình nghĩ là thế này

Ta có: x²+1>0 ∀xϵR

x²+2x+3=(x+1)²+1>0 ∀xϵR

x²+4x+5=(x+2)²+1 >0 ∀xϵR

nên \(\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{x^2+2x+3}\ge3\sqrt{x^2+4x+5}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}+2\sqrt{\left(x+1\right)^2+1}\ge3\sqrt{\left(x+2\right)^2+1}\)

\(\Leftrightarrow x+1+2\left(x+1\right)+2\ge3\left(x+2\right)+3\)

\(\Leftrightarrow x+3+2x+2\ge3x+6+3\)

\(\Leftrightarrow3x+5\ge3x+9\Leftrightarrow0x\ge4\) (vô nghiệm)

Vậy S=∅

(2x-1)(x-3)-3x+1≤(x-1)(x+3)+x²-5

<=> 2x²-6x-x+3-3x+1≤x²+3x-x-3+x²-5

<=> -12x≤-6

<=>x≥\(\frac{1}{2}\)

Vậy nghiệm của bpt là S=[\(\frac{1}{2}\);+∞)

Mình thiếu x chỗ kết quả cuối phải là \(\frac{-1}{2}< x< \frac{3}{2}\)

|x-|x-1||<2 (1)

TH1:x-1≥0 <=> x≥1

(1)<=> |x-(x-1)|<2

<=>|x-x+1|<2

<=>|1|<2 (vô nghiệm)

TH2: x-1<0<=>x<1

(1)<=> |x-(1-x)|<2

<=>|x-1+x|<2

<=>|2x-1|<2

<=>-2<2x-1<2

<=>\(\frac{-1}{2}< \frac{3}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3>0\\x-m< 4\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>\frac{3}{2}\\x< m+4\end{matrix}\right.\)

Hệ bất phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m+4\(\le\frac{3}{2}\)

<=> \(m\le\frac{3}{2}-4\) <=>\(m\le\frac{-5}{2}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}-x< -2\\5-3x\le\\2x\le5\end{matrix}\right.2x-6}\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>2\\-5x\le-11\\x\le\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x>2\\x\ge\frac{11}{5}\\x\le\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\ge\frac{11}{5}\\x\le\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

nên tập nghiệm của hệ là S=\(\left[\frac{11}{5};\frac{5}{2}\right]\)

a+b=\(\frac{11}{5}+\frac{5}{2}=\frac{47}{10}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}1-2x+x^2\le8-4x+x^2\\x^3+3x^22+3x2^2+2^3< x^3+6x^2+13x+9\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x\le7\\x^3+6x^2+12x+8< x^3+6x^2+13x+9\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\le\frac{7}{2}\\-x< 1\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x\le\frac{7}{2}\\x>-1\end{matrix}\right.\)

nên hệ có nghiệm S=\(\left\{0;1;2;3\right\}\)

Tổng nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của hệ là:0+3=3

\(\left\{{}\begin{matrix}5x-2< 4x+5x\\x^2< \left(x+2\right)^2\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}5x-4x< 5+2\\x^2-\left(x+2\right)^2< 0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 7\\x^2-x^2-4x-4< 0\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 7\\-4x< 4\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 7\\x>-1\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm là S=\(\left\{0;1;2;3;4;5;6\right\}\)

Tổng tất cả các nghiệm nguyên của hệ là 0+1+2+3+4+5+6=21

Ta có: \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{c}{d}\)-->ad<bc (b,d>0)

Gỉa sử \(\frac{a}{b}\)<\(\frac{ab+cd}{b^2+d^2}\) đúng

a (b²+d²)<b(ab+cd) (b,d>0)

<=> ab²+ad²<ab²+bcd

<=> ad²-bcd<0

<=> d(ad-bc)<0 (*)

mà d>0; ad<bc(cmt)--> ad-bc<0

nên (*) đúng.

cm tiếp vế kia cũng như thế rồi kết luận