Nếu người thứ n đúng, sẽ kéo theo người từ 1 đến n-1 đúng, tức là n người phát biểu đúng. Thật vậy, người thứ 40 phát biểu "có ít nhất 40 người phát biểu sai". Nếu điều đó là đúng, thì các phát biểu "có ít nhất 39. 38,... Hay có ít nhất 1 người phát biểu sai" cũng trở thành phát biểu đúng. Và trong câu nói của người thứ n, cũng khẳng định n người phát biểu sai. Vậy n phải là số thoả mãn 2*n <= 100. Suy ra, max (n) = 50. 50 người phát biểu đúng. 50 người phát biểu sai.

Từ \(1;2;....;n\) có n số hạng:

Suy ra: \(1+2+....+n=\frac{\left(n+1\right).n}{2}\)

Theo đề bài ta có: 

\(1+2+3+...+n=\overline{aaa}\)

Suy ra: \(\frac{\left(n+1\right).n}{2}=\overline{aaa}=a.111=a.3.37\)

 Suy ra: \(n\left(n+1\right)=2.3.37.a\)

Vì tích : \(n\left(n+1\right)\) chia hết cho số ngtố 37 nên n hoặc n + 1 chia hết cho 37

Vì số: \(\frac{\left(n+1\right).n}{2}\) có 3 chữ số suy ra \(n+1<74\) \(\Rightarrow n=37\) hoặc \(n+1=37\)

+ Với \(n=37\) thì: \(\frac{37.38}{2}=703\left(loại\right)\)

+ Với \(n+1=37\) thì \(\frac{36.37}{2}=666\) ( thỏa mãn )

Vậy a = 36 và a = 6 .Ta có: \(1+2+3+...+36=666\)

 Đặt 
S=1 +2+..+n 
S=n+(n-1)+..+2+1 
\(\Rightarrow\) 2S = n(n+1) 
\(\Rightarrow\) S=n(n+1)/2 
\(\Rightarrow\) aaa =n(n+1)/2 
\(\Rightarrow\) 2aaa =n(n+1) 

Mặt khác aaa =a.111= a.3.37 

\(\Rightarrow\) n(n+1) =6a.37 
Vế trái là tích 2 số tự nhiên liên tiếp 
\(\Rightarrow\) a.6 =36 
\(\Rightarrow\) a=6 
(nêu a.6 =38 loại) 

Vậy n=36, aaa=666

Câu hỏi đây :Câu hỏi của ta thi van anh - Học và thi online với HOC24

gọi số trang 1 quyển của mỗi loại lần lượt là: a,b,c 
\(\Rightarrow\) ta có tổng số trang giấy có được là: 
8a + 9b + 5c = 1980 (1) 
số trang 1quyển loại 2 = \(\frac{2}{3}\) số trang 1quyển loại 1: b=\(\frac{2}{3}\) a \(\Leftrightarrow\) \(\frac{2}{3}\)a-b=0 (2) 
4 quyển loại 3 = 3 quyển loại 2: 4c=3b \(\Leftrightarrow\) 3b-4c=0 (3) 
giải hệ 3 pt (1),(2) và (3) bạn có thể dùng mt giải hộ hoặc giải tay 
kết quả là       
a=120, số trang 1 quyển loại 1 là 120 trang 
b=80, số trang 1 quyển loại 2 là 80 trang 
c=60, số trang 1quyển loại 3 là 60 trang.

 Ta kí hiệu: Loại 1 : \(LI\) ; loại 2 :\(LII\); loại 3: \(LIII\)

Vì số trang của mỗi quyển vở \(LII\) bằng \(\frac{2}{3}\) số trang của 1 quyển \(LI\), nên số trang của 3 quyển vở \(LII\) bằng số trang của 2 quyển vở \(LI\)

Mà số trang của 4 quyển \(LIII\) bằng 3 quyển \(LII\), nên số trang của 2 quyển \(LI\)  bằng số trang của 4 quyển \(LIII\)

Do đó số trang của 8 quyển \(LI\) bằng:

     \(4.8:2=16\) ( quyển \(LIII\) )

Số trang của 9 quyển \(LII\) bằng:

    \(9.4:3=12\) ( quyển \(LIII\))

\(LIII\) 5 quyển ( bài ra )

Vậy 1980 chính là số trang của :

    \(16+12+5=33\) ( quyển \(LIII\) )

Suy ra:  

Số trang 1 quyển vở loại 3 là :

 \(1980:33=60\) ( trang )

Số trang 1 quyển vở loại 2 là :

\(\frac{60.4}{3}=80\) ( trang )

Số trang 1 quyển vở loại 1 là :

\(\frac{80.3}{2}=120\) ( trang )

Ta có: \(AB^2+AC^2=6^2+8^2=100\)

            \(BC^2=10^2=100\)

 \(\Delta ABC\) có \(AB^2+AC^2+BC^2\left(=100\right)\)

Theo định lí đảo Py-ta-go có \(\Delta ABC\) vuông tại A 

Mà AM là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) 

Do đó: \(AM=\frac{BC}{2}=5\left(cm\right)\)

\(5^{1992}=\left(5^4\right)^{498}=625^{498}=0625^{498}=\left(...0625\right)\)

 Vậy bốn chữ số tận cùng của \(5^{1992}\) là 0625

Cách 2: gọi số bài giỏi là a,yếu là b,cả trung bình và khá là c (a,b,c thuộc N*;c=8).theo bài ra ta có:

a+b+c=35 \(\leftrightarrow\) a+b+8=35 \(\leftrightarrow\) a+b=27 \(\leftrightarrow\) a=27-c (1) 
lại có 20a+8*5-10c=130 
\(\leftrightarrow\)20a-10c=90 
\(\leftrightarrow\)2a-c =9 (2) 
thấy (1) vào (2) \(\rightarrow\) 2*(27-c)-c=9 
\(\leftrightarrow\) 54-3c =9 
\(\leftrightarrow\) c =15 
\(\rightarrow\) a =12 
Vậy số bài giỏi là 12 bài, số bài yếu là 15 bài.

Cách 1: Điểm cao nhất đạt được là: 35.20=700 
Điểm cao nhất đạt được sau khi giải 8 bài toán là: 8.20=160 
Mà HS đó chỉ được 8.5=40 (điểm) sau khi giải 8 bài toán nên đã mất đi: 160-40=120 (điểm) 
Số điểm tối đa đạt được sau khi HS đó được giải được 8 bài toán: 700-120=580 (điểm) 
Mà HS sau khi giải 35 bài chỉ có 135 điểm nên 35-8=27 (bài) còn lại đã mất đi: 
580-130=450 (điểm) 
Nếu HS đó có bài yếu, kém thì thay vì mất đi 20 điểm mà còn bị trừ 10 điểm nên mất đi: 20+10=30 (điểm) 
Số bài đạt điểm kém là: 450:30=15 (bài) 
Số bài đạt điểm giỏi là: 27-15=12 (bài) 
Vậy số bài giỏi là 12 bài; số bài yếu là 15 bài