Lời giải:
Lấy PT dưới trừ PT trên thu được:
2y(y+2)−2x(x+2)=p2−p2y(y+2)−2x(x+2)=p2−p
⇔2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)⇔2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)
⇒2(y−x)(y+x+2)⋮p(1)⇒2(y−x)(y+x+2)⋮p(1)
Vì p=2x(x+2)+1≥7p=2x(x+2)+1≥7 với mọi xx nguyên dương nên pp là số nguyên tố lẻ. ⇒(2,p)=1(2)⇒(2,p)=1(2)
Lại có:
Hiển nhiên y>xy>x nên y−xy−x dương.
(y−x)2<2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)<p2(y−x)2<2(y−x)(y+x+2)=p(p−1)<p2
⇒y−x<p(3)⇒y−x<p(3)
Từ (1);(2);(3)⇒y+x+2⋮p(1);(2);(3)⇒y+x+2⋮p
Mà:
p=2x(x+2)+1>2x2≥2x⇒x<p2p=2x(x+2)+1>2x2≥2x⇒x<p2
p2=2y(y+2)+1>y2⇒y<pp2=2y(y+2)+1>y2⇒y<p
⇒x+y+2<p2+p+2<2p⇒x+y+2<p2+p+2<2p với p≥7p≥7
Do đó để x+y+2⋮px+y+2⋮p thì x+y+2=px+y+2=p
⇒y−x=p−12⇒y−x=p−12
⇒x=p−34⇒x=p−34
Thay vào PT đầu tiên:
p−1=p−32.p+54p−1=p−32.p+54
⇔8(p−1)=p2+2p−15⇔(p+1)(p−7)=0⇒p=7