HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
MAx
ó thể thấy rằng: xy + yz + 2zx = y(x + z) + 2zx <= lyllx + zl + 2zx (1). Lại có lx + zl <= căn[2(x^2 + z^2)] = căn[2(1 - y^2)] và 2zx <= z^2 + x^2 = 1 - y^2; từ đây suy ra xy + yz + 2zx <= lylcăn[2(1 - y^2)] + 1 - y^2 (2). Tiếp đến, ta sẽ chứng minh lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 + 1/2 (3), từ đó suy ra kết quả của bài toán. Thật vậy, ta có lylcăn(2(1 - y^2)] + 1 - y^2 <= căn(3)/2 - 1/2 <=> lylcăn[2(1 - y^2)] <= y^2 + căn(3)/2 - 1/2 <=> 2y^2(1 - y^2) <= y^4 + (căn(3) - 1)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2 <=> 3y^4 - (3 - căn(3))y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2 <=> 3y^4 - 2căn(3)(căn(3)/2 - 1/2)y^2 + (căn(3)/2 - 1/2)^2 <=> (căn(3)y^2 - căn(3)/2 + 1/2)^2 >= 0. Đẳng thức xảy ra khi y = căn[1/2 - 1/2căn(3)] hoặc y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)]. Từ (1),(2),(3) suy ra xy + yz + 2zx <= căn(3)/2 + 1/2. Dấu = xảy ra khi dấu = của (1),(2),(3) cùng xảy ra, tức là x = z = (1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = căn[1/2 - 1/2căn(3)], hoặc x = z = (-1/2)căn[(1 + căn(3))/căn(3)] và y = -căn[1/2 - 1/2căn(3)].
Vì x - 2 < x + 5
nên \(\left\{{}\begin{matrix}x\text{-}2\text{ < 0}\\x\text{+}5>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}x< 2\\x>\text{ −}5\end{matrix}\right.\)
=>−5<x<2
=>x e \(\left\{1,0,\text{−}1,\text{−}2,\text{−}3,\text{−}4\right\}\)
vậy ...........................................