Cho tam giác DEF nhọn, nội tiếp đường tròn O. Kẻ các đường cao EH, FK.

a) Chứng minh: Tứ giác EKHF nội tiếp

b) Đường kính DI cắt KH tại P. Chứng minh: EPHI là tứ giác nội tiếp 

c) Chứng minh: OD vuông góc với HK

Một xe máy đi từ A đến B với vận tốc và thời gian dự định trước. Nhưng đi nửa quảng đường đầu với vận tốc dự định, còn nửa đoạn đường sau tăng vận tốc lên 10km/h, nên xe máy đến B sớm hơn dự định 30p'. Tính vận tốc và thời gian dự định biết quãng đường AB dài 120km.

a) Xác định hệ số a của paradol y = a\(x^2\), biết rằng paradol đi qua A(-2;-2)

b) Tìm tọa độ của M thuộc paradol nói trên, biết rằng khoảng cách từ M đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ M đến trục tung.

Phong trào Xô Viết Nghệ Tĩnh 1930-1931 ở Hưng Nguyên.

Cho đường tròn (O), điểm M nằm ngoài (O). Kẻ tiếp tuyến MA và cát tuyến MBC. Đường cao AH của tam giác ABC, phân giác góc BAC cắt BC ở D, cắt (O) ở E. C/m:

a) OE // AH

b) MA = MD 

c) AD.AE = AC.AB

Cho tam giác ABC cân ở A, nội tiếp (O). D là điểm thuộc cung BC không chứa A. Gọi E là giao điểm của BC và AD. C/m:

a) Góc AEB = Góc ABD

b) AE.AD =\(AC^2\)

c) Kết quả câu a, b có thay đổi không nếu D thuộc cung BC chứa A.

Cho tam giác ABC đều, nội tiếp (O). Trên cung nhỏ BC, lấy M bất kì.

a) Cchứng minh: MB + MC = MA.

b) Gọi H là giao của MA với BC. Chứng minh : \(\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MC}=\dfrac{1}{MH}\)

a) Cho \(A=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{25}}\)

Chứng minh : 7 < A < 8

b) Chứng minh : \(5\sqrt{2}< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{50}}< 10\sqrt{2}\)

Giải phương trình :

a) \(\left(\sqrt{x}-2\right)\left(5-\sqrt{x}\right)=4-x\)

b) \(\frac{\sqrt{x+5}}{\sqrt{x+4}}=\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+3}}\)

c) \(\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}+\frac{1}{x-\sqrt{x^2+1}}=4\)