Để \(\frac{10}{x^2+1}\)có giá trị nguyên thì x² + 1 \(\in\)Ư(10)

Ư(10) = { 1;-1; 2; -2 ; 5 ; -5; 10; -10 }

\(\Leftrightarrow\)x² +1 = 1 \(\Leftrightarrow\)x² =1-1 \(\Leftrightarrow\)x² = 0 \(\Leftrightarrow\)x=0 ( Nhận )

\(\Leftrightarrow\)x² +1 = -1 \(\Leftrightarrow\)x² = -1 -1 \(\Leftrightarrow\)x² = -2 ( vô nghiệm vì bình phương luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ) ( Loại )

\(\Leftrightarrow\)x² +1 = 2 \(\Leftrightarrow\)x² = 2-1 \(\Leftrightarrow\)x² = 1 \(\Leftrightarrow\)x = 1 hoặc x = -1 ( Nhận cả hai giá trị )

\(\Leftrightarrow\)x² +1 = -2 \(\Leftrightarrow\)x² = -2-1 \(\Leftrightarrow\)x² = -3 ( vô nghiệm vì bình phương luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ) ( Loại )

\(\Leftrightarrow\)x² +1 = 5 \(\Leftrightarrow\)x² = 5-1 \(\Leftrightarrow\)x² = 4 \(\Leftrightarrow\)x = 2 hoặc x = -2 ( Nhận cả hai giá trị )

\(\Leftrightarrow\)x² +1 = -5 \(\Leftrightarrow\)x² = -5 -1 \(\Leftrightarrow\)x² = -6 ( vô nghiệm vì bình phương luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ) ( Loại )

\(\Leftrightarrow\)x² + 1 = 10 \(\Leftrightarrow\)x² = 10 -1  \(\Leftrightarrow\)x² = 9 \(\Leftrightarrow\)x = 3 hoặc x = -3 ( Nhận cả hai giá trị )

\(\Leftrightarrow\)x² +1 = -10 \(\Leftrightarrow\)x² = -10 -1 \(\Leftrightarrow\)x² = -11 ( vô nghiệm vì bình phương luôn lớn hơn hoặc bằng 0 ) ( Loại )

Vậy x = { 0; 1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 3 ; -3 } thì biểu thức \(\frac{10}{x^2+1}\) có giá trị nguyên