HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
Trừ pt trên cho pt dưới, ta có:
\(xy\left(x-y\right)=\left(y-x\right)\left(y+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+xy\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y\\x+y+xy=0\end{matrix}\right.\)
*Với \(x=y\), thay vào pt đầu:
\(y^3-y^2+2=0\Leftrightarrow\left(y+1\right)\left(y^2-2y+2\right)=0\Leftrightarrow y=-1\)
\(\Leftrightarrow x=y=-1\)
*Với \(x+y+xy=0\) thì \(x=-\frac{y}{y+1}\), \(y\ne-1\), thay vào pt đầu: \(\frac{y^3}{\left(y+1\right)^2}+2=y^2\Leftrightarrow y^3+2\left(y+1\right)^2=y^2\left(y+1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow y^4+y^3-y^2-4y-2=0\Leftrightarrow\left(y^2-y-1\right)\left(y^2+2y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow y=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\) từ đó suy ra x. Tìm xong thử lại nghiệm.
Đặt \(\overline{abc}=11m+k;\overline{xyz}=11n+k\left(k\in N,k< 11\right)\)
Khi đó ta có: \(\overline{abcxyz}=1000.\overline{abc}+\overline{xyz}=1000\left(11m+k\right)+11n+k\)
\(=11000m+11n+1001k\)
Biểu thức trên chia hết cho 11 với mọi m, n, k.
Vậy ....
Ta có: \(2^{2020}\) có 2021 ước nguyên dương là các ước: \(2^0;2^1;...;2^{2020}\). Vậy có 4042 ước tất cả bao gồm âm và dương.
Các ước có dạng 3x + 1 là: \(2^{2k}\) với \(0\le k\le1010\); \(-2^{2k+1}\) với \(0\le k\le1009\)
Vậy \(3x+1\) nhận tổng cộng 2021 giá trị thỏa mãn x nguyên
Tức là có 2021 số nguyên x sao cho \(\frac{2^{2020}}{3x+1}\)là số nguyên
Chắc đây là bài chứng minh đẳng thức. Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) (1)
Có lẽ đoạn \(\frac{1}{\sqrt{3}+2}\) nên sửa thành \(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\) mới đúng đề.
Áp dụng cái đẳng thức (1) trên vào, ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}+\sqrt{99}}\)
\(=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9\)
3. Gọi STN có 5 chữ số đó là \(\overline{abcde}\), ta có:
\(10000\le\overline{abcde}\le99999\)
\(\Rightarrow\)\(22^3\le\overline{abcde}=\overline{ab^3}\le46^3\)
Vì đã giới hạn được khoảng ngắn lên cứ thế mà thử từng số từ 22 đến 46 là xong :>
Kết quả \(\overline{ab}=32\)
2. Dễ thấy \(32^2\le\overline{ab}^2=\overline{acdb}\le99^2\) do \(\overline{acdb}\) có 4 chữ số.
Ta chứng minh được với a nhận các giá trị từ 1 tới 8 thì:
\(\overline{ab}^2=100a^2+20ab+b^2\le100a^2+180a+81< 1000a< \overline{acdb}\)
(Thay lần lượt các giá trị vô là xong)
Do đó \(a=9\). Vì \(\overline{ab}^2\) có tận cùng là b nên b nhận các giá trị 0,1,5,6.
Thử từng trường hợp ta được \(\overline{ab}=95;\overline{ab}=96\)
Có vẻ khá lâu rùi ko có ai giải bài này.
1. \(\overline{ab}^2=\overline{abc}+c^2\le999+9^2=1080\)
\(\Leftrightarrow\overline{ab}\le31\) . Cũng có: \(\overline{ab}\ge10\) vì là số có 2 chữ số
\(\overline{ab}^2-10.\overline{ab}=c^2+c\)
Với \(\overline{ab}\ge16\) thì \(\overline{ab}^2-10\overline{ab}\ge96>90=9^2+9\ge c^2+c\) (ko t/m)
Vậy \(10\le\overline{ab}\le16\)
Thử từng trường hợp tìm được \(\overline{abc}=100;\overline{abc}=147\)
Từ phương trình chứa căn ban đầu ta có: ĐKXĐ là \(-\frac{11}{5}\le x\le6\)
\(\sqrt{5x+11}-6+1-\sqrt{6-x}+5x^2-14x-55=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{5\left(x-5\right)}{\sqrt{5x+11}+6}+\frac{x-5}{\sqrt{6-x}+1}+\left(x-5\right)\left(5x+11\right)=0\) (1)
Dễ thấy có nghiệm \(x=5\), thử lại thỏa mãn.
Với \(x\ne5\), chia cả 2 vế cho \(\left(x-5\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{5}{\sqrt{5x+11}+6}+\frac{1}{\sqrt{6-x}+1}+5x+11=0\) (2)
Vế trái của (2) luôn lớn hơn 0 với mọi \(x\ge\frac{-11}{5}\)
Vậy \(x=5\)
Nhân 3 vào 2 vế:
\(15x^2+15y^2+18xy-60x-60y+72=0\)
\(\Leftrightarrow9\left(x^2+2xy+y^2\right)-60\left(x+y\right)+100+6\left(x^2+y^2\right)=28\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+3y-10\right)^2+6\left(x^2+y^2\right)=28\)
Thử lần lượt \(\left(3x+3y-10\right)^2\) với các giá trị 0, 4, 16 là các số chính phương chẵn nhỏ hơn 28 thì tìm được \(x=y=1\). (Dễ thấy \(\left(3x+3y-10\right)^2\) chia hết cho 2 nha)
Vậy ......
Đặt \(M=\overline{xyztu};N=\overline{abcde}\).
Theo bài ra: \(M:N=\overline{xyztu}:\overline{abcde}=2k\left(k\in N,k>0\right)\)
Trước hết, ta có \(x\ne0;a\le3\).Vì nếu \(a\ge5\) thì M có 6 chữ số (ko t/m)
Vì 1 trong các chữ cái b,c,d,e nhận giá trị 9 nên ta giả sử e=9
Khi đó, u = 8 và:
t = (2.d+1 ) nếu 2.d < 10
t = (2.d + 1) - 10 nếu 2.d > 10
Rõ ràng ở trường hợp nào t cũng lẻ, trong khi các chữ số của M đều chẵn. Vậy không tồn tại các số nguyên M, N thỏa mãn.