12 + 15 = 17
Ahjhj

\(ĐK:\)  \(x,y\in Z\)

Ta thấy:

\(y^2=\left(x^4+4x^3+4x^2\right)+2\left(x^2+2x\right)\)

nên  \(y^2=\left(x^2+2x\right)^2+2\left(x^2+2x\right)\)

Khi đó, ta sẽ chứng minh  \(a^2\le y^2< \left(a+1\right)^2\)  \(\left(o\right)\)  với  \(a=x^2+2x\)

Thật vậy,  ta có:  \(y^2-a^2=2\left(x^2+2x\right)\ge0\)

\(\left(a+1\right)^2-y^2=\left(x^2+2x+1\right)^2-\left(x^4+4x^3+6x^2+4x\right)=1>0\)

nên  \(\left(o\right)\)  được chứng minh

Do   \(a^2\le y^2< \left(a+1\right)^2\)  nên  \(y^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x^4+4x^3+6x^2+4x=\left(x^2+2x\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\)  \(2\left(x^2+2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(x\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)  \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x+2=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-2\end{cases}}}\)

Với  \(x=0\)  thì từ phương trình suy ra  \(y=0\)  \(\left(\text{t/m ĐK}\right)\)

Với  \(x=-2\)  thì ta cũng dễ dàng chứng minh được  \(y=0\)  \(\left(\text{t/m ĐK}\right)\)

Vậy,  \(\left(x,y\right)=\left(0,0\right);\left(-2;0\right)\)  và các vòng hoán vị