HOC24
Lớp học
Môn học
Chủ đề / Chương
Bài học
Dễ nhận thấy \(x\ne0\) chia cả 2 vế pt cho \(x\) ta được: \(|x^2+2|=5x-4\) . \(VT\ge2\Leftrightarrow VP\ge2\Leftrightarrow5x-4\ge2\Leftrightarrow x\ge\dfrac{6}{5}\) Khi \(x\ge\dfrac{6}{5}\) thì: \(x^2+2=5x-4\Leftrightarrow x^2+2-5x+4=0\) \(\Rightarrow x^2-5x+6=0\) \(\Rightarrow x^2-2x-3x+6=0\) \(\Rightarrow x\left(x-2\right)-3\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=3\end{matrix}\right.\) Vậy pt có nghiệm là \(S=\left\{2;3\right\}\)
Ta có: Xét thừa số tổng quát. Với mọi n là số thực dương thì: \(\dfrac{1}{n^3}< \dfrac{1}{n^3-n}=\dfrac{1}{n\left(n^2-1\right)}=\dfrac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\) Áp dụng vào bài toán: \(NL=\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{1}{3^3}+...+\dfrac{1}{2008^3}< \dfrac{1}{1.2.3}+\dfrac{1}{2.3.4}+...+\dfrac{1}{2007.2008.2009}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{1.2}-\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{2.3}-\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{2007.2008}-\dfrac{1}{2008.2009}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2008.2009}\right)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2008.2009.2}< \dfrac{1}{4}\left(đpcm\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(NL=\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2\ge\dfrac{\left(a+\dfrac{1}{a}+b+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}\) Bất đẳng thức phụ: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\) ta có: \(NL\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\dfrac{\left(1+\dfrac{4}{a+b}\right)^2}{2}=\dfrac{\left(1+4\right)^2}{2}=\dfrac{25}{2}\)Dấu "=" khi \(a=b=\dfrac{1}{2}\)
\(A=\left(\sqrt{3+\sqrt{7}}-\sqrt{3-\sqrt{7}}\right)^2=3+\sqrt{7}+3-\sqrt{7}-2\sqrt{\left(3+\sqrt{7}\right)\left(3-\sqrt{7}\right)}=6-2\sqrt{9-7}=6-2\sqrt{2}\)