Câu trả lời:
1.
\(\left(ad-bc\right)^2+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
Thay ad-bc=1 \(\Rightarrow1+\left(ac+bd\right)^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\)
Áp dụng bđt Cosi :
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(b^2+d^2\right)}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}+ac+bd\)
Do đó chỉ cần chứng minh \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}+ac+bd\ge\sqrt{3}\) hay \(2\sqrt{1+\left(ac+bd\right)^2}+ac+bd\ge\sqrt{3}\)
Đặt \(ac+bd=x\) và \(y=2\sqrt{1+x^2}+x\)
Ta có ; \(\left|x\right|=\sqrt{x^2}< 2\sqrt{1+x^2}\) mà \(\left|x\right|\ge-x\Rightarrow y>0\)
Xét : \(y^2=4\left(1+x\right)^2+4x\sqrt{1+x^2}+x^2=\left(1+x\right)^2+4x\sqrt{1+x^2}+4x^2+3\)
\(=\left(\sqrt{1+x^2}+2x\right)^2+3\ge3\)\(\Rightarrow y^2\ge3\Rightarrow y\ge\sqrt{3}\)
Suy ra \(M\ge\sqrt{3}\)(đpcm)