Ta có: \(2^{2009}=2.2^{2008}=2.\left(2^8\right)^{251}=2.\left(...6\right)^{251}=2.\left(...6\right)=...2\)

Vậy \(2^{2009}\) có chữ số tận cùng là 2.

a,b) Xét hai tam giác vuông HBA và ABC, có:

chung \(\widehat{HBA}\)

Do đó: \(\Delta HBA\sim\Delta ABC\) (g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{AH}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AB}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{2BP}{2AQ}=\dfrac{AB}{AC}\Leftrightarrow\dfrac{BP}{AQ}=\dfrac{AB}{AC}\)Xét hai tam giác ABP và CAQ, có:

\(\widehat{ABH}=\widehat{HAC}\) (cùng phụ với \(\widehat{BAH}\))

\(\dfrac{BP}{AQ}=\dfrac{AB}{AC}\) (cmt)

Do đó: \(\Delta ABP\sim\Delta CAQ\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\widehat{APB}=\widehat{CQA}\)

\(\Leftrightarrow180^O-\widehat{APB}=180^O-\widehat{CQA}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{APH}=\widehat{CQH}\) (kề bù)

Xét hai tam giác vuông HCQ và HAP, có:

\(\widehat{CQH}=\widehat{APH}\) (cmt)

Do đó: \(\Delta HCQ\sim\Delta HAP\) (g.g)

\(\Rightarrow\widehat{HCQ}=\widehat{HAP}\)

c) Gọi K là giao điểm của CQ và AP.

Xét hai tam giác HCQ và KAQ, có:

\(\widehat{HCQ}=\widehat{HAP}\) (cmt)

\(\widehat{CQH}=\widehat{AQK}\) (đđ)

Do đó: \(\Delta HCQ\sim\Delta KAQ\) (g.g)

\(\Rightarrow\widehat{QHC}=\widehat{QKA}=90^O\) hay \(AP\perp CQ\)

Theo đề ta có: a = 5k + 2 \(\left(k\in N\right)\)

b = 5h + 3 \(\left(h\in N\right)\)

ab = (5k + 2)(5h + 3) = 25kh + 10h + 15k + 6

= 5(5kh + 2h + 3k + 1) + 1 chia 5 dư 1.