Em hãy nêu những thành tựu có được dưới thời nhà Trần trên các lĩnh vực : lịch sử, quân sự, y học, thiên văn học, kiến trúc và điêu khắc ?

Nêu văn hóa mới của giai cấp tư sản được xây dựng ở Châu Âu thế kỉ XIV - XVII là gì ?

Chứng minh bất đẳng thức sau :

\(e^x\ge x+1\) với mọi \(x\in R\)

Giải hệ phương trình :

     \(\begin{cases}x^3+1=2\left(x^2-x+y\right)\\y^3+1=2\left(y^2-y+x\right)\end{cases}\)  (*)

Điều kiện \(x\ne0;y\ne0\)

Đặt \(x+\frac{1}{x}=a;y+\frac{1}{y}=b\), khi đó :

\(x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2;y^2+\frac{1}{y^2}=b^2-2\)

Thay vào hệ phương trình ta được :

\(\begin{cases}a+b=5\\a^2+b^2=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\\left(a+b\right)^2-2ab=13\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}a+b=5\\ab=6\end{cases}\)

Do đó a và b là nghiệm của phương trình : \(t^2-5t+6=0\Leftrightarrow\begin{cases}t=2\\t=3\end{cases}\) 

vậy \(\left(a;b\right)=\left(2;3\right);\left(a;b\right)=\left(3;2\right)\)

* Khi \(\begin{cases}a=2\\b=3\end{cases}\) ta có :

\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=2\\y+\frac{1}{y}=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x+1=0\\y^2-3x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=1\\y=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)

* Khi \(\begin{cases}a=3\\b=2\end{cases}\) ta có :

\(\begin{cases}x+\frac{1}{x}=3\\y+\frac{1}{y}=2\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-3x+1=0\\y^2-2x+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}y=1\\x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\end{cases}\)

Các nghiệm (x;y) là 

\(\left(1;\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right);\left(1;\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};1\right);\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};1\right)\)

Cho đường thẳng \(\Delta:x+y+1=0\) và 2 điểm \(A\left(2;3\right);B\left(-4;1\right)\)

Tìm trên đường thẳng \(\Delta\) điểm M sao cho :

a. Vecto \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\) có độ dài ngắn nhất

b. Đại lượng \(2MA^2+3MB^2\) đạt giá trị nhỏ nhất

Điều kiện xác định của hàm số là : \(\sin x+\cos x\ne0\Leftrightarrow\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ne0\)

                                                  \(x+\frac{\pi}{4}\ne k\pi\Leftrightarrow x\ne-\frac{\pi}{4}+k\pi\)

Suy ra tập xác định là : \(D=R\backslash\left\{-\frac{\pi}{4}+k\pi\right\}\)

Tìm tất cả những điểm nằm trên trục tung mà từ đó  chỉ có thể kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x-1}\)

Hoành độ giao điểm của d : y = mx+2 với (C) là nghiệm phương trình :

\(\begin{cases}x>0\\\log^2_2x-\log_2x^2-3\ge0\end{cases}\)
Dễ thấy với m = 0 thì (1) vô nghiệm. Đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1. Điều kiện là 

\(\begin{cases}\Delta>0\\m\left(-1\right)^2+m\left(-1\right)+3\ne0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow m^2-12m>0\) \(\Leftrightarrow m<0\) hoặc m > 12 (*)

Với (*) giả sử x1, x2 là 2 nghiệm phân biệt của (1), khi đó tọa độ các giao điểm là : 

\(A\left(x_1;mx_1+2\right);B\left(x_2;mx_2+2\right)\)

Dễ thất điểm O không thuộc d nên ABO là một tam giác.

Tam giác ABO vuông tại O khi và chỉ khi :

\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow\left(1+m^2\right)x_1x_2+2m\left(x_1+x_2\right)+4=0\)

Áp dụng định lí Viet ta có : \(x_1+x_2=-1;x_1x_2=\frac{3}{m}\)

Thay vào trên ta được :

\(m^2+4m+3=0\Leftrightarrow m=-3\) hoặc \(m=-1\) (thỏa mãn (*)

Vậy \(m=-3\) hoặc \(m=-1\)

Phương trình hoành độ giao điểm : \(-x^4+2\left(2+m\right)x^2-3-2m=0\left(1\right)\)

Đặt \(t=x^2,\left(t\ge0\right)\), phương trình (1) trở thành : \(t^2-1\left(m+2\right)t+3+2m=0\left(2\right)\)

(1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (2) có 2 nghiệm dương phân biệt

Điều kiện là : \(\begin{cases}\Delta'>0\\S>0\\P>0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}m^2+2m+1>0\\m+2>0\\3+2>0\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}m\ne-1\\m>-\frac{3}{2}\end{cases}\) (*)

Với điều kiện (*), giả sử \(t_1;t_2\) (\(0 < t 1 < t2 \)  là 2 nghiệm phân biệt của (2), khi đó (1) có 4 nghiệm phân biệt là \(x_1=-\sqrt{t_2};x_2=-\sqrt{t_1};x_3=\sqrt{t_1};x_4=\sqrt{t_2};\)

\(x_1;x_2;x_3;x_4\) lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi :

\(x_2-x_1=x_3-x_2=x_4-x_3\)

\(\Leftrightarrow t_2=9t_1\left(a\right)\)

Áp dụng định lí Viet ta có : \(t_1+t_2=2\left(m+2\right);t_1.t_2=3+2m\left(b\right)\)

Từ (a) và (b) ta có : \(9m^2-14m-39=0\)

Đối chiếu điều kiện (*) ta có \(m=3\) hoặc \(m=-\frac{13}{9}\)