Vd2: Trong hộp có 6 viên bi đỏ và 4 viên bi xanh, các viên bi có kích thước và khối lượng như nhau. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi trong hộp. Gọi X là số viên bi xanh trong 3 viên bi được chọn ra. 

a) Tính giá trị của biểu thức: V(X) = \(\left(0-\mu\right)^2.\dfrac{1}{6}+\left(1-\mu\right)^2.\dfrac{1}{2}+\left(2-\mu\right)^2.\dfrac{3}{10}+\left(3-\mu\right)^2.\dfrac{1}{30}\)

b) Tính \(\sigma\left(X\right)=\sqrt{V\left(X\right)}\)

giải

Ta có: \(E\left(X\right)=\mu=0.\dfrac{1}{6}+1.\dfrac{1}{2}+2.\dfrac{3}{10}+3.\dfrac{1}{30}=1,2\)

a) \(V\left(X\right)=\left(0-1,2\right)^2.\dfrac{1}{6}+\left(1-1,2\right)^2.\dfrac{1}{2}+\left(2-1,2\right)^2.\dfrac{3}{10}+\left(3-1,2\right)^2.\dfrac{1}{30}=0,56\)

b) \(\sigma\left(X\right)=\sqrt{0,56}\simeq0,75\)

Nhận xét: Các số thực không âm V(X), σ(X) lần lượt được gọi là phương sai và độ lệch chuẩn của X.

* Trong trường hợp tổng quát ta có định nghĩa sau:

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tệp giá trị là {x_1; x₂; x₃;......;x_n} và p_i = P(X=x₁)

(i=1,2,3,4,......,n), μ=E(X)

* Phương sai của X, kí hiệu của V(X), là số thực được tính theo công thức:

V(X) = (x₁-μ)²p₁ + (x₂-μ)²p₂+...... + (x_n-μ)²p_n

* Căn bậc hai ( số học ) của phương sai, kí hiệu là σ(X), được gọi là độ lệch chuẩn của X, nghĩa là σ(X) = \(\sqrt{V\left(X\right)}\)

Nhận xét: 

* Phương sai cũng như độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc là một số không âm. 

Nó cho ta một ý niệm về mức độ phân tán các giá trị của X xung quanh giá trị trung bình.

Phương sai ( hoặc độ lệch chuẩn ) càng lớn thì mức độ phân tán càng lớn.

Độ lệch chuẩn cùng đơn vị đo với X.

* Chú ý: Bằng cách biến đổi biểu thức V(X), ta có: \(V\left(X\right)=\left(x_1^2p_1+x_2^2p_2+....+x_n^2p_n\right)-\mu^2\)

Trong thực hành, ta thường dùng công thức này để tính phương sai.