Tham khảo:

a)

Mệnh đề P có dạng \(R \Rightarrow T\)với R: “Hai tam giác bằng nhau” và T: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”

Giả thiết là mệnh đề R: “Hai tam giác bằng nhau”

Kết luận là mệnh đề T: “Diện tích của hai tam giác bằng nhau”

Mệnh đề Q có dạng \(A \Rightarrow B\)với A: “\(a < b\)” và B: “\(a + c < b + c\)”

Giả thiết là mệnh đề A: “\(a < b\)”

Kết luận là mệnh đề B: “\(a + c < b + c\)”

b)

+) Mệnh đề P có thể phát biểu lại như sau:

Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để có diện tích của chúng bằng nhau.

Diện tích của hai tam giác bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác bằng nhau.

+) Mệnh đề Q có thể phát biểu lại như sau:

\(a < b\) là điều kiện đủ để có \(a + c < b + c\).

\(a + c < b + c\)là điều kiện cần để có \(a < b\).

c)

Mệnh đề đảo của mệnh đề P có dạng \(T \Rightarrow R\), phát biểu là: “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau”.

Mệnh đề này sai nên không là định lí.

Chẳng hạn: Tam giác ABC và tam giác DEF, có diện tích bằng nhau nhưng hai tam giác không bằng nhau.

Mệnh đề đảo của mệnh đề Q có dạng \(B \Rightarrow A\), phát biểu là: “Nếu \(a + c < b + c\)thì \(a < b\)”.

Mệnh đề này đúng nên nó cũng là định lí.

Tham khảo:

n=10

Giả sử sau khi sắp xếp 10 số dương theo thứ tự không giảm thì được:

=> Trung vị là giá trị trung bình của số thứ 5 và thứ 6.

=> \({Q_1}\) là số thứ 3 và \({Q_3}\) là số thứ 8.

a) Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:

+ Số lớn nhất tăng 2 lần và số nhỏ nhất tăng 2 lần

=> R tăng 2 lần

+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 lần

=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) tăng 2 lần.

+ Giá trị trung bình tăng 2 lần

=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} - \overline x} \right|\) cũng tăng 2 lần

=> \({\left( {{x_i} - \overline x} \right)^2}\) tăng 4 lần

=> Phương sai tăng 4 lần

=> Độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

Vậy R tăng 2 lần, khoảng tứ phân vị tăng 2 lần và độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

b) Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì

+  Số lớn nhất tăng 2 đơn vị và số nhỏ nhất tăng 2 đơn vị

=> R không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 đơn vị

=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ Giá trị trung bình tăng 2 đơn vị

=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} - \overline x} \right|\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

=> \({\left( {{x_i} - \overline x} \right)^2}\) không đổi

=> Phương sai không đổi.

=> Độ lệch chuẩn không đổi.

Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không đổi.

Tham khảo:

Lấy các điểm: A, C sao cho:

Vectơ vận tốc dòng nước\(\overrightarrow {{v_n}}  = \overrightarrow {OA} \)

Vectơ vận tốc chuyển động \(\overrightarrow {{v_{cano}}}  = \overrightarrow {OC} \)

Ta có: \(\overrightarrow {{v_{cano}}}  = \overrightarrow {{v_n}}  + \overrightarrow v \), với \(\overrightarrow v \) là vectơ vận tốc riêng của cano.

Gọi B là điểm sao cho \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OB} \) thì OACB là hình bình hành.

Vì tàu chuyển động theo hướng \(S{15^o}E\) nên vectơ \(\overrightarrow {OC} \) tạo với hướng Nam (tia OS) góc \({15^o}\) và tạo với hướng Đông (tia OE) góc \({90^o} - {15^o} = {75^o}\).

Mà nước trên sông chảy về hướng đông nên vectơ \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {OE} \)

Do đó góc tạo bởi vectơ \(\overrightarrow {OC} \) và vectơ \(\overrightarrow {OA} \) là \({75^o}\)

Xét tam giác OAC ta có:

\(OA = \;|\overrightarrow {{v_n}} |\; = 3\); \(OC = \;|\overrightarrow {{v_{cano}}} |\; = 20\) và \(\widehat {AOC} = {75^o}\)

Áp dụng định lí cosin tại đỉnh O ta được:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = O{A^2} + O{C^2} - 2.OA.OC.\cos \widehat {AOC}\\ \Leftrightarrow A{C^2} = {3^2} + {20^2} - 2.3.20.\cos {75^o} \approx 378\\ \Leftrightarrow OB = AC \approx 19,44\end{array}\)

Vậy vận tốc riêng của cano là 19,44 km/h

Tham khảo:

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ;\;\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow u \)

Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

Gọi tọa độ của \(\overrightarrow u \)là \(\left( {x;y} \right)\). Đặt \(\alpha  = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow a } \right)\).

+) Nếu \({0^o} < \alpha  < {90^o}\): \(x = OM = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha  = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha .\;|\overrightarrow a |\; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

+) Nếu \({90^o} < \alpha  < {180^o}\): \(x =  - OM = \; - |\overrightarrow u |.\cos ({180^o} - \alpha ) = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha \; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

Như vậy ta luôn có: \(x = \overrightarrow u .\overrightarrow a \)

Chứng minh tương tự, ta có: \(y = \overrightarrow u .\overrightarrow b \)

Vậy vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow i  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \end{array}\)

Tham khảo:

a)  M thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC \( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 3.\overrightarrow {MC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)

Mà \(BM = \dfrac{3}{4}BC\) nên \(\overrightarrow {BM}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Tham khảo:

A. Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD} } \right) = \left( {\overrightarrow {BE} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {135^o} \ne {45^o}.\) Vậy A sai.

B. Ta có: \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {CF} ,\overrightarrow {CG} } \right) = {45^o}\) và  \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  = AC.BC.\cos {45^o} = a\sqrt 2 .a.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}.\)

Vậy B đúng.

Chọn B

C. Dễ thấy \(AC \bot BD\) nên \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD}  = 0 \ne {a^2}\sqrt 2.\) Vậy C sai.

D. Ta có: \(\left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} } \right) = {45^o}\) \( \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD}  = BA.BD.\cos {45^o} = a.a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2} \ne  - {a^2}.\) Vậy D sai.

Tham khảo:

a) 

Ta có: A (1; 2), B(-4; 3) và M (t; 0)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow \overrightarrow {AM} = (t - 1; - 2),\;\overrightarrow {BM} = (t + 4; - 3)\\
\Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = (t - 1)(t + 4) + ( - 2)( - 3)\\
\quad \quad \quad \quad \quad \quad= {t^2} + 3t + 2.
\end{array}\)

b)

Để \(\widehat {AMB} = {90^o}\) hay \(AM \bot BM\) thì \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 3t + 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy t = -1 hoặc t = -2 thì \(\widehat {AMB} = {90^o}\)

Tham khảo:

a)

Gọi \(A,{A_1},{A_2}\) lần lượt là công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \), \(\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \).

Ta cần chứng minh: \(A = {A_1} + {A_2}\)

Xét lực \(\overrightarrow F \), công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) là: \(A = \left| {\overrightarrow F } \right|.{\rm{ AB}}.\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow {AB} } \right) = \overrightarrow F .\overrightarrow {AB} \)

Tương tự, ta có: \({A_1} = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB} \), \({A_2} = \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB} \)

Áp dụng tính chất của tích vô hướng ta có:

\({A_1} + {A_2} = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB}  = \left( {\overrightarrow {{F_1}}  + \overrightarrow {{F_2}} } \right).\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow F .\overrightarrow {AB}  = A\)

b)

Vì \(\overrightarrow {{F_2}} \)tương ứng vuông góc với phương chuyển động nên \(\overrightarrow {{F_2}}  \bot \overrightarrow {AB} \)

Do đó: công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_2}} \) là: \({A_2} = \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow {AB}  = 0\)

Mà \(A = {A_1} + {A_2}\)

\( \Rightarrow A = {A_1}\)

Vậy công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) bằng công sinh bởi lực \(\overrightarrow {{F_1}} \).

Tham khảo:

Dễ thấy: \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \) cùng dấu với \(\cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\) (do \(\left| {\overrightarrow u } \right|.\;\left| {\overrightarrow v } \right| > 0\)). Do đó:

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\)  \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) > 0\) hay \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\)

+) \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) \( \Leftrightarrow \cos \;\left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right)\;\; < 0\) hay \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}\)

Vậy \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; > 0\)  nếu \({0^o} \le \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) < {90^o}\) và \(\overrightarrow u .\;\overrightarrow v \;\; < 0\) nếu \({90^o} < \left( {\overrightarrow u ,\;\overrightarrow v } \right) \le {180^o}.\)

Tham khảo:

Lấy điểm D sao cho: \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \)

Khi đó ta có: \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAD}\)

Dễ thấy ABCD là hình bình hành (hơn nữa còn là hình thoi) nên \(\widehat {BAD} = {180^o} - \widehat {ABC} = {120^o}\)

Vậy số đo góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) là \({120^o}\).