Chứng minh AC, DE và BM đồng quy.
Theo giả thiết của đề bài, ta có:
ABC là tam giác vuông tại A.BD là đường cao của tam giác ABC.BD = BC.DE cắt AB và AC tại E và D, lần lượt.ABE là tam giác cân.AE // DC.M là trung điểm của đoạn DC.Ta cần chứng minh rằng AC, DE, và BM đồng quy, tức là chúng đồng quy tại một điểm duy nhất.
Để chứng minh điều này, ta sẽ dùng định lí Ceva trong tam giác ABC để chứng minh:
��.����.����=1BA.MCEM.ADCD=1
hay
����=����.����MCEM=CD.BCBAAD
Ta thấy rằng tam giác ABD và BDC đồng dạng, từ đó suy ra:
����=����BDCD=ADBC
Do BD là đường cao của ABC nên
��=��2��CD=ADBC2
Do đó:
����.����=����2��.����=��2��2CD.BCBAAD=ADBC2.BCBAAD=BC2AD2
Chú ý rằng ta có ��BE song song với ��DA nên trong tam giác ���,ADE, ta có
����=����=����MAEM=DABE=ADBA
Áp dụng hai công thức trên, ta có thể suy ra
����=��2��2.����=��.����2MCEM=BC2AD2.ADBA=BC2BA.AD
(công thức sao chép lần thứ hai trong phép tính trên cùng)
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh
����=��2��2ECBE=AC2BA2
Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có:
����=����.ECBE=ACBA.
Từ đó, suy ra:
����.����=��.����2.����=��2��2MCEM.ECBE=BC2BA.AD.ACBA=AC2BA2
Do đó, theo định lí Ceva, ta có AC, DE, và BM đồng quy. Vậy, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh
