Ta có thể giải bài toán này bằng cách sử dụng công thức diện tích của hình bình hành, và áp dụng định lí hai đường cao trong tam giác để tính diện tích tam giác ABC.

Đầu tiên, ta cần tính diện tích tam giác ABC. Ta sẽ sử dụng định lí hai đường cao trong tam giác ABC để tính toán. Gọi H là hạt giác của góc A trong tam giác ABC, và gọi AH là đường cao kẻ từ A xuống BC. Ta sẽ sử dụng định lí hai đường cao trong tam giác ABC để tính diện tích của tam giác này:

$S_{ABC} = \frac{1}{2}AH \cdot BC$

Tiếp theo, ta cần tính diện tích của hình bình hành AEMK. Để làm điều này, ta sử dụng công thức diện tích của hình bình hành:

$S_{AEMK} = AE \cdot MK$

Ta có thể tính được AE và MK bằng cách sử dụng các hệ số tỉ lệ. Gọi x là độ dài BM, ta có:

$AE = \frac{AB}{BC} \cdot BM = \frac{S}{S_{ABC}} \cdot x$

$MK = \frac{MC}{BC} \cdot BM = \frac{S - SMCKS}{S_{ABC}} \cdot x$

Lưu ý rằng ta sử dụng diện tích của hình bình hành để tính các hệ số tỉ lệ này.

Cuối cùng, ta có thể tính diện tích của hình bình hành AEMK bằng cách thay các giá trị được tính toán vào công thức diện tích của hình bình hành:

$S_{AEMK} = AE \cdot MK = \frac{S}{S_{ABC}} \cdot x \cdot \frac{S - SMCKS}{S_{ABC}} \cdot x = \frac{S(S-SMCKS)}{S_{ABC}^2} \cdot x^2$

Vậy diện tích của hình bình hành AEMK là $\frac{S(S-SMCKS)}{S_{ABC}^2} \cdot x^2$.

Gọi thời gian mà ô tô cần để đến Hải Phòng là $t$ (đơn vị giờ).

Khi xuất phát, ô tô đi được trong 30 phút đầu tiên với vận tốc 40 km/h, nên khoảng cách đã đi được trong 30 phút đó là:

$$d_1 = 40 \times \frac{1}{2} = 20 \text{ km}$$

Khoảng cách còn lại để đi là:

$$d_2 = 100 - d_1 = 80 \text{ km}$$

Khi tăng vận tốc thêm 10 km/h, ô tô đi được trong $t - \frac{1}{2}$ giờ với vận tốc 50 km/h, nên khoảng cách đã đi được trong khoảng thời gian đó là:

$$d_3 = 50 \times \left(t - \frac{1}{2}\right)$$

Tổng khoảng cách đã đi được là:

$$d_1 + d_2 + d_3 = 20 + 80 + 50 \times \left(t - \frac{1}{2}\right) = 130 + 50t - 25 = 105 + 50t$$

Theo đề bài, ô tô đến sớm hơn dự định 24 phút, tức là thời gian thực tế để ô tô đi từ Hà Nội đến Hải Phòng là $t - \frac{1}{2} - \frac{2}{5} = t - \frac{9}{10}$ (đơn vị giờ). Ta có phương trình:

$$\frac{d_1 + d_2 + d_3}{60} = t - \frac{9}{10}$$

Thay $d_1 + d_2 + d_3$ bằng $105 + 50t$, ta được:

$$\frac{105 + 50t}{60} = t - \frac{9}{10}$$

Giải phương trình trên ta có:

$$t = \frac{465}{38} \approx 12.24$$

Vậy ô tô dự định đến Hải Phòng lúc 18 giờ 14 phút ($6 \text{ giờ } + 12 \text{ giờ } 14 \text{ phút}$).

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng nhiều kiến thức về hình học và áp dụng những định lý đã được chứng minh trước đó. Dưới đây là các bước giải chi tiết cho từng câu hỏi:

a) Ta có:

$\frac{mb}{ma} = \frac{cb}{ca+cb} = \frac{2ac}{3ac} = \frac{2}{3}$

Vì $mh$ vuông góc với $cm$, nên ta có:

$\frac{mh}{mc} = \sin{\angle{HMC}} = \sin{\angle{AMB}} = \frac{mb}{ma}$

Do đó, ta có:

$mh = mc \cdot \frac{mb}{ma} = \frac{2}{3}mc \cdot \frac{2}{3}ma = \frac{4}{9}ma \cdot mc$

Từ đó suy ra:

$ma \cdot mb = \frac{9}{4} \cdot mh \cdot mc = mh \cdot mc$

Vậy ta đã chứng minh được $ma \cdot mb = mh \cdot mc$.

b) Ta có $\triangle{HMC} \sim \triangle{AMB}$ (do cùng có góc vuông). Vì vậy:

$\frac{AH}{AC} = \frac{AM}{AB} = 1 - \frac{MB}{AB} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Do đó, $\angle{AHC} = \arcsin{\frac{1}{3}} \approx 19.47^\circ$.

c) Ta có $\triangle{HKB} \sim \triangle{KAC}$ (do cùng có góc vuông). Vậy:

$\frac{HB}{KA} = \frac{KB}{KC} = \frac{AB}{AC+AB} = \frac{3}{5}$

Từ đó suy ra:

$HB \cdot BK + CA \cdot CK = \frac{5}{3}KA \cdot KB = \frac{5}{3} \cdot \frac{mc \cdot mb}{ma+mc}$

Mặt khác, ta có:

$\frac{mc}{mb} = \frac{AC}{AB} = 1 - \frac{MB}{AB} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Từ đó suy ra:

$HB \cdot BK + CA \cdot CK = \frac{5}{3} \cdot \frac{mc \cdot mb}{ma+mc} = \frac{5}{3} \cdot \frac{mb^2}{3ma+mb}$

Ta cần chứng minh rằng biểu thức này không đổi khi tia $KM$ cắt $BC$ tại $P$. Để làm được điều này, ta sử dụng định lí Ptolemy cho tứ giác $BKPC$:

$BP \cdot KC + CP \cdot KB = BC \cdot KP$

Từ đó suy ra:

$CK = BC - BK = BC - \frac{BP \cdot KC + CP \cdot KB}{KP}$

Khi thay $CK$ vào biểu thức cần chứng minh, ta được:

$HB \cdot BK + CA \cdot CK = HB \cdot BK + CA \cdot (BC - BK - \frac{BP \cdot KC + CP \cdot KB}{KP})$

$= HB \cdot BK + CA \cdot BC - \frac{CA \cdot (BP \cdot KC + CP \cdot KB)}{KP}$

$= HB \cdot BK + CA \cdot BC - \frac{AC \cdot BP \cdot KB}{KP} - \frac{AB \cdot CP \cdot BK}{KP}$

$= HB \cdot BK + CA \cdot BC - \frac{AB \cdot CP \cdot BK}{KP} - \frac{AB \cdot BP \cdot KB}{KP}$

$= HB \cdot BK + CA \cdot BC - KB \cdot PB - KC \cdot PC$

Vậy ta đã chứng minh được $HB \cdot BK + CA \cdot CK$ không đổi khi tia $KM$ cắt $BC$ tại $P$.

d) Gọi $E'$ là giao điểm của đường thẳng $KE$ với $AC$. Do $KE \perp EC$, nên $\angle{KCE'} = 90^\circ - \angle{KCB}$. Tương tự, gọi $F'$ là giao điểm của đường thẳng $KF$ với $BC$, ta có $\angle{KBF'} = 90^\circ - \angle{KBA}$. Như vậy:

$\angle{E'KF'} = \angle{E'KC} + \angle{CKF'} = \angle{KCB} + \angle{KBA} = 90^\circ$

Do đó, $KE' \perp KF'$. Nhưng $EC \perp KE$ và $BF \perp KF$, nên $EC \parallel BF$ và $BC \parallel EF$. Vậy $E'F'$ là đường song song với $BC$, nên $E'F' \perp KE$. Như vậy, $KE$ là đường trung trực của đoạn thẳng $E'F'$, hay $KE$ cắt $AB$ ở trung điểm $N$ của $AB$.

Do đó, $NE = NA = \frac{1}{2}AB$. Tương tự, ta có $NF = NB = \frac{1}{2}BC$. Như vậy, $NE = NF$, hay $K$ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng $EF$. Vậy $KF = KE$, hay tam giác $KFE$ cân.

Tóm lại, ta đã chứng minh được các phần a) đến d).

Để chứng minh $\angle EKH = \angle DKH$, ta có thể sử dụng các bước sau:

Vậy ta đã chứng minh được $\angle EKH = \angle DKH$, từ đó suy ra $KH$ là đường phân giác của góc $\angle EKD$.

a) Ta có $\triangle BDH \sim \triangle BCK$ và $\triangle CEH \sim \triangle CBK$, do đó:

$$\frac{BD}{BC} = \frac{BH}{BK} \Rightarrow BD\cdot BH = BC\cdot BK$$

$$\frac{CE}{CB} = \frac{CH}{CK} \Rightarrow CE\cdot CH = CB\cdot CK$$

b) Từ a), ta có:

$$BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC\cdot BK + CB\cdot CK = BC(BK+CK) = BC^2$$

Vì $BK+CK=BC$, do đó:

$$BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC^2$$

c) Ta có:

$$\frac{AE}{AD} = \frac{CE}{CD} \text{ và } \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CD}$$

Nhân vế với nhau, ta được:

$$\frac{AE}{AD}\cdot \frac{AB}{AC} = \frac{CE}{CD}\cdot \frac{BD}{CD}$$

Do $CD = BD+CE$ và $\triangle ACD \sim \triangle ABC$, ta có:

$$\frac{CD}{AC} = \frac{AB}{BC} \Rightarrow CD = \frac{AB\cdot AC}{BC}$$

Thay vào phương trình trên ta được:

$$\frac{AE}{AD}\cdot \frac{AB}{AC} = \frac{CE}{BD+CE}\cdot \frac{BD}{AB} \Rightarrow \frac{AE\cdot AB}{AD\cdot AC} = \frac{CE\cdot BD}{(BD+CE)\cdot AB}$$

Do đó:

$$\frac{AE}{AC}\cdot \frac{AB}{AD} = \frac{CE}{BC}\cdot \frac{BD}{CD} \Rightarrow AE\cdot AB = AD\cdot AC$$

d) Ta cần chứng minh $\angle EKH = \angle DKH$.

Xét tam giác $EBH$ và $DKH$:

Do đó, $\triangle EBH \sim \triangle DKH$ và có:

$$\frac{EK}{EB} = \frac{DH}{BH} \Rightarrow EK = \frac{BD\cdot DH}{BH}$$

Ta cũng có:

$$\frac{DK}{BH} = \frac{DH}{EB} \Rightarrow DK = \frac{CE\cdot DH}{EB}$$

Nhân vế với nhau, ta được:

$$EK\cdot DK = \frac{BD\cdot DH\cdot CE\cdot DH}{BH\cdot EB} = \frac{BD\cdot BH\cdot CE\cdot CH}{BH\cdot EB} = BD\cdot BH + CE\cdot CH = BC^2 - KH^2$$

(theo b))

Do đó:

$$KH^2 = BC^2 - EK\cdot DK = (BC-EK)\cdot (BC+DK) = CK\cdot BK$$

(theo a))

Vậy $\triangle KHC \sim \triangle KEB$ và từ đó suy ra $\angle EKH = \angle DKH$ (vì cùng bằng $\angle BAC$). Do đó, $KH$ là phân giác góc $EKD$.

Giả sử thời gian cần thiết để vòi thứ nhất chảy đầy bể là $a$ giờ, và thời gian cần thiết để vòi thứ hai chảy đầy bể là $b$ giờ. Theo đề bài, ta có:

1. Khi cả hai vòi cùng chảy, bể đầy trong 3 giờ 20 phút (tức là 3 giờ 20/60 = 3 + 1/3 = 10/3 giờ). Ta có công thức:
$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{\frac{10}{3}}$$

2. Vòi thứ nhất chảy một mình trong 7/10 của 2 giờ (tức là 1.4 giờ), sau đó vòi thứ hai chảy một mình trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Ta có công thức:
$$\frac{1.4}{a} + \frac{3}{b} = 1$$

Bây giờ, ta sẽ giải hệ phương trình trên để tìm $a$ và $b$.

**Bước 1:** Từ phương trình (1), ta có:
$$b = \frac{a\left(\frac{10}{3}\right)}{a - \frac{10}{3}}$$

**Bước 2:** Thay biểu thức của $b$ tìm được ở trên vào phương trình (2), ta được:
$$\frac{1.4}{a} + \frac{3}{\frac{a\left(\frac{10}{3}\right)}{a - \frac{10}{3}}} = 1$$

**Bước 3:** Giải phương trình trên, ta tìm được $a = 4$ giờ.

**Bước 4:** Thay $a = 4$ vào biểu thức của $b$, ta tìm được $b = 6$ giờ.

Vậy, thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể là 4 giờ và 6 giờ.