Bài 6: Ôn tập chương Tổ hợp - Xác suất

​Ta có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn,

         9 cách chọn chữ số hàng trăm,

         8 cách chọn chữ số hàng chục,

         7 cách chọn chữ số hàng đơn vị.

Vậy ta có thể lập được tất cả số các số thỏa mãn là:

                 9 x 9 x 8 x 7 = 4536 (số) 

​Số lượng tứ giác có thể được tạo thành là:   \(C^4_{10}=210\) (tứ giác)

Không gian mẫu có \(C^3_{10}=120.\)

Các bộ ba số (trong các số từ 1 đến 10) có tổng bằng 7 là  {1 ;2 ;6} ; {1; 3; 5} ; {2; 3; 4}.
Số khả năng để tổng các số ghi trên ba thẻ bằng 9 là 3.

Xác suất cần tính bằng \(\frac{3}{120}=\frac{1}{40}\)
 

Có các trường hợp là:
1 bi trắng và 4 bi đỏ \(C^1_{10}.C^4_6=150\)​ (cách).
2 bi trắng và 3 bi đỏ \(C^2_{10}.C^3_6=900\) (cách).
Tổng cộng có: \(150+900=1050\) (cách).

Số cách chọn ra 2 viên bi xanh là: \(C^2_{12}\)​ (cách).
Số cách chọn ra 4 viên bi còn lại: \(C^4_{35}\) (cách).
Vậy có \(C^2_{12}.C^4_{35}\) (cách).

Gọi A là biến cố lấy được ​3 quyển sách có đủ 3 môn toán, văn, anh.
Số cách lấy 1 quyển sách toán là: \(C^1_4\) (cách).
Số cách lấy 1 quyển sách văn là: \(C^1_5\) (cách).
Số cách lấy 1 quyển sách anh là: \(C^1_6\) (cách).
\(\left|\Omega_A\right|=C^1_4.C^1_5.C^1_6=4.5.6=120\) (cách).
\(\left|\Omega\right|=C^3_{15}=455\) (cách).
\(P_A=\dfrac{\left|\Omega_A\right|}{\left|\Omega\right|}=\dfrac{120}{455}=\dfrac{24}{91}\).

​Sắp xếp 8 quyển kĩ thuật trên giá sách có 8! cách sắp xếp.
Giữa 8 quyển sách này có 9 khoảng trống (2 khoảng trống bên cạnh và 7 khoảng trống ở giữa hai quyển sách).
Giữa 9 khoảng trống này có \(A^7_9\) cách sắp xếp 7 quyển sách kĩ thuật.
Vậy có \(A^7_9.8!\) cách sắp xếp.

​Số các số có 5 chữ số được tạo thành từ các số 1, 2, 3, 4, 5 là 5!.
Ghép 4 và 5 thành một cặp đứng cạnh nhau có 2! cách sắp xếp.
Xếp cặp 4 và 5 và các số 1, 2, 3 còn lại có 4! cách sắp xếp.
Vậy số các số có 5 chữ số tạo thành từ 1, 2, 3, 4, 5 trong đó 4 và 5 đứng cạnh nhau là: 2!.4!.
Số các số có 5 chữ số tạo thành từ 1, 2, 3, 4, 5 sao cho số 4 và 5 không đứng cạnh nhau là: \(51-2!.4!=72\).

​\(C^1_x+6C^2_x+6C^3_x=2x^2-14x\)
\(\Leftrightarrow x+\dfrac{6.x\left(x-1\right)}{2!}+\dfrac{6x.\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{3!}=2x^2-14x\)
\(\Leftrightarrow1+3\left(x-1\right)+\left(x-1\right)\left(x-2\right)=2x^2-14x\)
\(\Leftrightarrow x^2-14x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(x-14\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x-14=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow x=14\).

 

Chọn ra các bộ 3 điểm trong 20 điểm có \(C^3_{20}\)​ (bộ ba điểm).
Trong \(C^3_{20}\) bộ điểm này có \(C^3_5\) bộ ba điểm thẳng hàng. 
Vậy có số tam giác tạo thành là: \(C^3_{20}-C^3_5=1130\) (tam giác).

Sắp xếp 4 nam sinh trên một bàn tròn có 3! cách sắp xếp (cố định một bạn).
​Giữa 4 nam sinh có 4 chỗ trống nên co 4! cách sắp xếp 4 bạn nữ còn lại.
Vậy có 3!.4!  = 144 cách sắp xếp.
 

​\(A^3_n+C^{n-2}_n=14n\)
\(\Leftrightarrow n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}=14n\)
\(\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n-2\right)+\dfrac{n-1}{2}=14\)
\(\Leftrightarrow n=5\).
Ta có \(\left(2x^2+x\right)^n=\left(2x^2+x\right)^5=x^5\left(2x+1\right)^5\)\(=\sum_{k=1}^5C^k_52^kx^k.x^5\)
Ta có \(k+5=8\Leftrightarrow k=3\).
Vậy hệ số chứa \(x^8\) trong khai triển \(\left(2x^2+x\right)^n\) là: \(C^3_52^3=80\).

​

\(\left|\Omega\right|=6^{10}\)
Gọi D là biến cố số lần xuất mặt 6 chấm là 3 lần.
Số cách 3 lần xuất hiện mặt 6 chấm là: \(C^3_{10}\). Mỗi lần gieo trong 3 lần gieo này chỉ có 1 cách lựa chọn mặt 6 chấm.
Trong 7 lần gieo còn lại, mỗi lần gieo có 5 cách lựa chọn.
\(\left|\Omega_D\right|=C^3_{10}.1^3.5^7\)
\(P\left(D\right)=\dfrac{C^3_{10}.1^3.5^7}{6^{10}}\)\(=\dfrac{C^3_{10}.5^7}{6^{10}}\).