Bài 1. Bất đẳng thức

So sánh giá trị hai biểu thức $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$ và $a(b + c + d + e)$ với a, b, c, d, e là các số thực bất kỳ.

$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 > a(b + c + d + e)$.$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 < a(b + c + d + e)$.$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq a(b + c + d + e)$.$a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq a(b + c + d + e)$.

 

Hướng dẫn giải:

 

Xét hiệu $4[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a(b + c + d + e)]$ ta có:

$4[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a(b + c + d + e)] = 4a^2 + 4b^2 + 4c^2 + 4d^2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae)]$

$= (a^2 - 4ab + 4b^2) + (a^2 - 4ac + 4c^2) + (a^2 - 4ad + 4d^2) + (a^2 - 4ae + 4e^2)$

$= (a - 2b)^2 + (a - 2c)^2 + (a - 2d)^2 + (a - 2e)^2$

Do $(a - 2b)^2 \geq 0, (a - 2c)^2 \geq 0, (a - 2d)^2 \geq 0, (a - 2e)^2 \geq 0$

Nên $(a - 2b)^2 + (a - 2c)^2 + (a - 2d)^2 + (a - 2e)^2 \geq 0$

Hay $4[a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a(b + c + d + e)] \geq 0$.

Từ đó suy ra $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 - a(b + c + d + e) \geq 0$ (chia cả hai vế bất đẳng thức cho 4)

Hay $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq a(b + c + d + e)$, dấu "=" xảy ra khi a khi a = 2b = 2d = 2e.

Vậy $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \geq a(b + c + d + e)$, dấu "=" xảy ra khi a khi a = 2b = 2d = 2e.

​