Người ta cần chế tạo một ly nước dạng hình cầu tâm O, đường kính 2R. Trong hình cầu có một hình trụ tròn xoay nội tiếp trong hình cầu. Nước chỉ chứa được trong hình trụ. Hãy tìm bán kính đáy r của hình trụ để ly nước chứa được nhiều nước nhất.
\(r=\dfrac{R\sqrt{6}}{3}\) \(r=\dfrac{2R}{3}\) \(r=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\) \(r=\dfrac{R}{\sqrt{3}}\) Hướng dẫn giải:
Gọi h và r là chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Bài toán quy về việc tính h và r phụ thuộc theo R khi hình chữ nhật ABCD nội tiếp trong hình tròn (O; R) thay đổi để \(V=\pi r^2h\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \(AC^2=AB^2+BC^2\Leftrightarrow4R^2=4r^2+h^2\)
\(V=\pi\left(R^2-\dfrac{1}{4}h^2\right)h=\pi\left(-\dfrac{1}{4}h^3+R^2h\right)\left(0< h< R\right)\)
\(V'=\pi\left(-\dfrac{3}{4}h^2+R^2\right)\Leftrightarrow h=\pm\dfrac{2R}{\sqrt{3}}\)
Vậy \(V=V_{max}=\dfrac{4}{9}\pi R^3\sqrt{3}\Leftrightarrow r=\dfrac{2R}{\sqrt{3}}.\)
