Một hình nón có bán kính đáy bằng 6 cm và chiều cao bằng 9 cm. Tính thể tích lớn nhất của khối trụ nội tiếp trong hình nón.
\(36\pi\) \(54\pi\) \(48\pi\) \(\dfrac{81}{2}\pi\) Hướng dẫn giải:
Ta có \(tan\alpha=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}\)
Gọi r là bán kính hình trụ nội tiếp hình nón. Khi đó \(x=\dfrac{r}{tan\alpha}=\dfrac{3r}{2}\)
Vậy chiều cao của hình trụ là: \(9-\dfrac{3r}{2}\)
Thể tích khối trụ bằng: \(V\left(r\right)=\pi r^2.\left(9-\dfrac{3r}{2}\right)=\dfrac{-3\pi}{2}r^3+9\pi r^2\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=-\dfrac{3}{2}r^3+9r^2\); \(f'\left(x\right)=-\dfrac{9}{2}r^2+18r\)
\(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}r=0\\r=4\end{matrix}\right.\)
Xét BBT:
max f(x) = f (4)
Vậy \(V_{max}=48\pi\)
