Một công ty sản xuất gỗ muốn đóng các thùng đựng hàng hình lăng trụ tứ giác đều không nắp có thể tích là \(62,5dm^3.\) Để tiết kiệm vật liệu làm thùng, người ta cần thiết kế thùng sao cho có tổng \(S\) của diện tích xung quanh và diện tích mặt đáy là nhỏ nhất. Khi đó \(S\) bằng bao nhiêu?
\(106,25dm^2.\) \(75dm^2.\) \(50\sqrt{5}dm^2.\) \(125dm^2.\)Hướng dẫn giải:
Gọi \(a,h\) là độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình lăng trụ (đơn vị: \(dm\)).
Theo bài ta có \(V=a^2h=62,5\), suy ra \(h=\dfrac{62,5}{a^2}\). Do đó
\(S=4.\dfrac{62,5}{a^2}.a+a^2=\dfrac{250}{a}+a^2=\dfrac{125}{a}+\dfrac{125}{a}+a^2\ge3\sqrt[3]{\dfrac{125}{a}.\dfrac{125}{a}.a^2}=75\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=5\) và \(S\) nhỏ nhất bằng \(75.\)
