Khi sản xuất vỏ lon sữa Ông Thọ hình trụ, các nhà sản xuất luôn đặt chỉ tiêu sao cho chi phí sản xuất vỏ lon là nhỏ nhất, thức là nguyên liệu được dùng là ít nhất. Hỏi khi đó tổng diện tích toàn phần của lon sữa là bao nhiêu, khi nhà sản xuất muốn thể tích của hộp là V cm3?
\(S_{tp}=3\sqrt[3]{\dfrac{\pi V^2}{4}}\) \(S_{tp}=6\sqrt[3]{\dfrac{\pi V^2}{4}}\) \(S_{tp}=3\sqrt{\dfrac{\pi V^2}{4}}\) \(S_{tp}=6\sqrt{\dfrac{\pi V^2}{4}}\) Hướng dẫn giải:Ta có \(V=B.h=\pi R^2h\Rightarrow h=\dfrac{V}{\pi R^2}\)
\(S_{tp}=S_{xq}+2S_đ=2\pi R.h+2\pi R^2\)
\(=2\left(\pi R.\dfrac{V}{\pi R^2}+\pi R^2\right)=2\left(\dfrac{V}{R}+\pi R^2\right)\)
Tới đây có hai cách:
+ Tìm đạo hàm rồi xét y' = 0, lập bảng biên thiên tìm GTNN
+ Dùng BĐT Cauchy:
Ta có \(S_{tp}=2\left(\pi R^2+\dfrac{V}{R}\right)=2\left(\pi R^2+\dfrac{V}{2R}+\dfrac{V}{2R}\right)\)
\(\ge2.3.\sqrt[3]{\pi R^2.\dfrac{V}{2R}.\dfrac{V}{2R}}=6\sqrt[3]{\dfrac{\pi V^2}{4}}\)
