Cho hai điểm \(M\left(2;2;1\right),N\left(1;2;-2\right)\) . Trong bốn đường thẳng \(ON,Ox,Oy,Oz\) , đường thẳng nào tạo với đường thẳng \(OM\) góc lớn nhất?
\(ON\).\(Ox\).\(Oy\).\(Oz\).Hướng dẫn giải:Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow{OM}=\left(2;2;1\right),\overrightarrow{ON}=\left(1;2;-2\right).\) Áp dụng công thức tính góc giữa hai vectơ ta có
\(\cos\left(\overrightarrow{ON},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\left|1.2+2.2-2.1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+\left(-2\right)^2}\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\dfrac{4}{5}\)
\(\cos\left(\overrightarrow{Ox},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\left|1.2+0.2+0.1\right|}{\sqrt{1^2+0^2+0^2}\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\cos\left(\overrightarrow{Oy},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\left|0.2+1.2+0.1\right|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\cos\left(\overrightarrow{Oz},\overrightarrow{OM}\right)=\dfrac{\left|0.2+0.2-1.1\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)
Từ đó, trục \(Oz\) tạo với \(OM\) góc lớn nhất vì cos giữa nó với \(OM\) là nhỏ nhất (góc nhọn cosin càng nhỏ thì góc càng lớn).
