Cho đường tròn $(O; R)$ có hai dây $AB, CD$ vuông góc với nhau tại $M$. Giả sử $AB=16$ cm, $CD=12$ cm, $MC=2$ cm. Kẻ $OH \perp AB$ tại $H, OK \perp CD$ tại $K$. Khi đó diện tích tứ giác $OHMK$ bằng
$2 + \sqrt{11}cm^2$$4 + 2\sqrt{11}cm^2$$8\sqrt{11}cm^2$$4\sqrt{11}cm^2$Hướng dẫn giải:
Tam giác $OAB$ cân tại $O$ (do $OA=OB=R$) có $OH$ là đường cao nên $OH$ cũng là đường trung tuyến của tam giác. Do đó $H$ là trung điểm $AB$.
Vậy $HA = HB = \frac{16}{2} = 8$ (cm).
Chứng minh tương tự, ta được $KC = KD = \frac{CD}{2} = \frac{12}{2} = 6$ (cm).
Ta có $KC = KM + MC$. Suy ra $KM = KC - MC = 6 - 2 = 4$ (cm).
Tứ giác $OHKM$ có: $\widehat{OKM} = \widehat{KMH} = \widehat{OHM} = 90^\circ$ nên tứ giác $OHMK$ là hình chữ nhật.
Do đó $OH=KM=4$ (cm).
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $OHB$ vuông tại $H$ ta được:
$OB^2 = OH^2 + HB^2 = 4^2 + 8^2 = 80$. Suy ra $R = OB = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ (cm).
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác $OKD$ vuông tại $K$ ta được: $OD^2 = OK^2 + KD^2$.
Suy ra $OK^2 = OD^2 - KD^2 = R^2 - KD^2 = (4\sqrt{5})^2 - 6^2 = 80 - 36 = 44$.
Do đó $OK = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$ (cm).
Vậy diện tích hình chữ nhật $OHMK$ là: $S = KM.OK = 4.2\sqrt{11} = 8\sqrt{11}$ (cm$^2$).
