Bác nông dân cần xây dựng một hố ga không có nắp dạng hình hộp chữ nhật có thể tích \(3200dm^3\), tỉ số giữa chiều cao của hố và chiều rộng của đáy bằng \(2\) . Hãy xác định diện tích của đáy hố ga để khi xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?
\(1200dm^2\) \(160dm^2\) \(1600dm^2\) \(120dm^2\) Hướng dẫn giải:Gọi \(x,y,h\) lần lượt là chều rộng ,chiều dài và chiều cao của đáy hố ga.
Theo giả thiết ta có \(\dfrac{h}{x}=2\Rightarrow h=2x.\)
Thể tích của hố là \(V=xyh=3200\Rightarrow y=\dfrac{3200}{xh}=\dfrac{1600}{x^2}\)
Diện tích cần xây là
\(S=2xh+2yh+xy=4x^2+\dfrac{6400}{x}+\dfrac{1600}{x}=4x^2+\dfrac{8000}{x}.\)
Hàm số \(f\left(x\right)=4x^2+\dfrac{8000}{x},x>0\) có \(f'\left(x\right)=8x-\dfrac{8000}{x^2}=\dfrac{8\left(x^3-1000\right)}{x^2}\) luôn cùng dấu với nhị thức \(x-10\), do đó \(f'\left(x\right)\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(x=10\) và \(f\left(x\right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x=10.\) Diện tích cần xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất khi đáy có kích thước \(x=10,y=\dfrac{1600}{10^2}=16.\) Diện tích đáy hố ga là \(160dm^2.\)
