Hệ có chứa một phường trình đẳng cấp (thuần nhất)

I. Nhận diện hệ phương trình có tính đẳng cấp:

       Hệ phương trình có chứa một phương trình đẳng cấp (bậc của các số hạng như nhau) dạng \(ax^2+bxy+cy^2=0\)

      Hoặc có thể cộng, trừ đại số để xuất hiện một phương trình đẳng cấp (làm cho hệ số tự do bằng 0)

II. Phương pháp giải:

    - Xét riêng trường hợp y = 0 để tìm x

    - Xét y khác 0, chia phương trình đẳng cấp cho y2, đặt t = x/y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x/y=t và kết hợp phương trình còn lại để tìm x và y

III. Các ví dụ:

1) Ví dụ1: Giải hệ pt: \(\begin{cases}x^2-2xy+3y^2=9\\2x^2-13xy+15y^2=0\end{cases}\)

Giải

     Ta thấy phương trình thứ hai của hệ là dạng đẳng cấp bậc 2.

     - Xét trường hợp y = 0, thay vào hệ ta có: \(\begin{cases}x^2=9\\2x^2=0\end{cases}\), không tồn tại x. 

     - Xét trường hợp y khác 0, chia cả hai vế phương trình thứ hai cho y2, ta có:

           \(2\left(\frac{x}{y}\right)^2-13\frac{x}{y}+15=0\)

      Đặt t = x/y, thay vào ta có: \(2t^2-13t+15=0\), giải ra ta có t=5 hoặc t=3/2

     Với t = 5 => x = 5y, thay vào pt đầu của hệ ta được \(y^2=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\)  \(\Rightarrow x=\pm\frac{5\sqrt{2}}{2}\)

     Với t = 3/2 => x = 3/2 y, thay vào pt đầu ta được \(y^2=4\Rightarrow y=\pm2\)\(\Rightarrow x=\pm3\)

    Vậy các nghiệm của hệ là: \(\left(\frac{5\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2}\right);\left(\frac{-5\sqrt{2}}{2};\frac{-\sqrt{2}}{2}\right);\left(3;2\right);\left(-3;-2\right)\)

2) Ví dụ 2:

     Cho hệ pt: \(\begin{cases}3x^2+2xy+y^2=11\\x^2+2xy+3y^2=17+m\end{cases}\)

    a) Giai hệ khi m = 0

    b) Tìm m để hệ có nghiệm

Giải: Lấy pt thứ nhất nhân với 17 + m, phương trình thứ hai nhân với 11 thì ta được một phương trình đẳng cấp đối với x và y:

      \(\left(40+3m\right)x^2+2\left(6+m\right)xy+\left(m-16\right)y^2=0\)        (pt3)

  a) Với m = 0, giải tương tự ví dụ 1, từ (pt3) tìm được x/y = 1/2 hoặc x/y=-4/5, kết hợp với pt đầu của hệ ta tìm được 4 nghiệm là:

     \(\left(1,2\right);\left(-1,-2\right);\left(\frac{4\sqrt{3}}{3};\frac{-5\sqrt{3}}{3}\right);\left(\frac{-4\sqrt{3}}{3};\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)\)

3) Ví dụ 3:

      Giải hệ: \(\begin{cases}x^3+y^3=1\\x^2y+2xy^2+y^3=2\end{cases}\)

    Lấy pt đầu nhân với 2, rồi trừ pt thứ hai cho pt thứ nhất ta được:

      \(x^2y+2xy^2+y^3-2\left(x^3+y^3\right)=0\)

   Hay là: \(-2x^3+x^2y+2xy^2-y^3=0\)    (*)

   pt (*) là đẳng cấp đối với x và y.

   Xet y = 0 thì pt thứ hai của hệ không thỏa mãn (vì 0 = 2)

   Với y khác 0, chia cả hai vế của (*) cho y3 và đặt t= x/y ta có:

             \(-2t^3+t^2+2t-1=0\)

    Hay là: \(-\left(2t-1\right)\left(t+1\right)\left(t-1\right)=0\) , Suy ra t = 1/2 hoặc t = 1 hoặc t = -1

   => x/y = 1/2 hoặc x/y = 1 hoặc x/y = -1

        Kết hợp với pt đầu của hệ, ta tìm được các nghiệm là:

         \(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}};\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right);\left(\frac{\sqrt[3]{3}}{3};\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}\right)\)

TÀI LIỆU THAM KHẢO

phương pháp giải hệ phương trình

Hỏi đáp, trao đổi bài Gửi câu hỏi cho chủ đề này
Luyện trắc nghiệm Trao đổi bài

Tài trợ


Tính năng này đang được xây dựng...