Bài tập cuối chương III

1. Số nguyên âm

• Tập hợp \(\mathbb{Z}\) gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương gọi là tập hợp số nguyên.

\(\mathbb{Z}= \{...;- 4;- 3;- 2; -1; 0;1; 2;3;4;...\}\).

• Các số tự nhiên (khác 0) 1; 2; 3; 4; ... còn được gọi là các số nguyên dương.
• Các số - 1; - 2; - 3; ... gọi là các số nguyên âm.

Số dương và số âm được dùng để biểu thị các đại lượng đối lập nhau hoặc có hướng ngược nhau:

2. So sánh hai số nguyên

• Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0, do đó nhỏ hơn mọi số nguyên dương.
• Nếu a, b là hai số nguyên dương và a > b thì - a < - b.

Chú ý: Kí hiệu a ≤ b có nghĩa là "a < b hoặc a = b".

3. Cộng hai số nguyên

a) Cộng hai số nguyên cùng dấu

Cộng hai số nguyên âm

Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng phần số tự nhiên của chúng với nhau rồi đặt dấu " - " trước kết quả.

Chẳng hạn, (- 34) + (- 12) = - (34 + 12) = - 46.

Chú ý: Tổng của hai số nguyên âm là một số nguyên âm.

b) Cộng hai số nguyên khác dấu

Tổng của hai số nguyên khác dấu

Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu:

1. Hai số nguyên đối nhau thì có tổng bằng 0.
2. Muốn cộng hai số nguyên khác dấu (không đối nhau), ta tìm hiệu hai phần số tự nhiên của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước hiệu tìm được dấu của số có phần số tự nhiên lớn hơn.

4. Tính chất của phép cộng

Phép cộng có các tính chất:

• Giao hoán: a + b = b + a;
• Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c.

5. Trừ hai số nguyên

Quy tắc trừ hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b:

\(a-b=a+\left(-b\right)\)

Chú ý: Nếu b + x = a thì x = a - b.

6. Quy tắc dấu ngoặc

Bỏ dấu ngoặc trong trường hợp đơn giản

• Các số âm (hay dương) trong một dãy tính thường được viết trong dấu ngoặc. Nhờ quy tắc cộng hay trừ số nguyên, ta có thể viết dãy tính dưới dạng không có dấu ngoặc.
• Vì phép trừ chuyển được về phép cộng nên các dãy tính như trên cũng được gọi là một tổng.

Quy tắc dấu ngoặc:

• ​​Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đằng trước, ta giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc;
• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "-" đằng trước, ta phải đối dấu tất cả các số hạng trong dấu ngoặc: dấu "+" đổi thành "-" và dấu "-" đổi thành "+".

7. Nhân hai số nguyên 

a) Nhân hai số nguyên khác dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu

Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân phần số tự nhiên của hai số đó với nhau rồi đặt dấu " - " trước kết quả nhận được.

Nếu m, n ∈ \(\mathbb{N}^*\) thì m.(- n) = (- n).m = - (m.n).

Chú ý. Tích của hai số nguyên khác dấu luôn là một số nguyên âm.

b) Nhân hai số nguyên cùng dấu

Quy tắc nhân hai số nguyên âm:

Muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân phần số tự nhiên của hai số đó với nhau.

Nếu m, n ∈ \(\mathbb{N}^*\) thì (- m).(- n) = (- n).(- m) = m.n.

Chú ý. 

• Tích hai số nguyên cùng dấu luôn là số nguyên dương.
• Tích của một số nguyên với 0 luôn bằng 0: a.0 = 0.a = 0.

8. Tính chất của phép nhân

Phép nhân các số nguyên có các tính chất tương tự như phép nhân các số tự nhiên:

• Giao hoán: a.b = b.a
• Kết hợp: a.(b.c) = (a.b).c
• Phân phối của phép nhân đối với phép cộng: a.(b + c) = a.b + a.c

9. Phép chia hết

Cho a, b ∈ \(\mathbb{Z}\) với b ≠ 0. Nếu có số nguyên sao cho a = bq thì ta có phép chia hết \(\text{a : b = q}\) (trong đó ta cũng gọi a là số bị chia, b là số chia và q là thương). Khi đó ta nói a chia hết cho b , kí hiệu là a ⋮ b.

Chú ý. 

Dấu của thương:

• (+) : (+) → (+)
• (\(-\)) : (\(-\)) → (+)
• (+) : (\(-\)) → (\(-\))
• (\(-\)) : (+) → (\(-\))

10. Ước và bội

Khi a ⋮ b (a, b ∈ \(\mathbb{Z}\), b ≠ 0), ta còn gọi a là một bội của b và b là một ước của a.

Chú ý. 

• Nếu a là một bội của b thì - b cũng là một bội của b.
• Nếu b là một ước của a thì - b cũng là một ước của a.
• Để tìm các ước của số nguyên a, ta tìm các ước dương của a cùng với các số đối của chúng.
• Để tìm các bội của số nguyên a, ta lần lượt nhân a với \(0;\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;...\)