Bài tập cuối chương II

Nói chung, tập hợp các số nguyên \(\mathbb{Z}\) có nhiều tính chất tương tự với tập hợp các số tự nhiên \(\mathbb{N}\).

1. Tập hợp số nguyên và biểu diễn số nguyên trên trục số

Tập hợp các số nguyên \(\mathbb{Z}\) gồm các số nguyên âm, số 0 và số nguyên dương.

• Số nguyên âm là những số có dạng -1, -2, -3, ... nằm bên trái số 0 trên trục số nằm ngang.
• Số nguyên dương là những số tự nhiên và nằm bên phải số 0 trên trục số nằm ngang.

• Số 0 không phải là số nguyên âm, cũng không phải số nguyên dương.

2. Số đối của một số nguyên

• Trên trục số các điểm 1 và -1, 2 và -2, 3 và -3,… cách đều điểm 0 và nằm ở hai phía của điểm 0. Ta nói các số 1 và -1, 2 và -2, 3 và -3,… là các số đối nhau.
• Số đối của số 0 là 0.

3. So sánh hai số nguyên

• Trên trục số nằm ngang, nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.
• Trên trục số thẳng đứng, nếu số nguyên a nằm phía dưới điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.
• Nếu a nhỏ hơn b thì ta viết là a < b hoặc b > a.​

Lưu ý

•  Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0.
•  Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số 0.
•  Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kỳ số nguyên dương nào.

4. Phép cộng các số nguyên

a) Phép cộng hai số nguyên dương

Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác không.

b) Phép cộng hai số nguyên âm

Quy tắc cộng hai số nguyên âm:

Bước 1. Bỏ dấu "-" trước mỗi số

Bước 2. Tính tổng hai số nguyên dương nhận được ở bước 1

Bước 3. Thêm dấu "-" trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có tổng cần tìm.

Lưu ý:

+ Tổng của hai số nguyên dương là số nguyên dương.

+ Tổng của hai số nguyên âm là số nguyên âm.

5. Cộng hai số nguyên khác dấu

Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu:

Bước 1. Bỏ dấu "-" trước số nguyên âm, giữ số nguyên còn lại

Bước 2. Trong hai số nguyên dương vừa nhận được ở Bước 1, ta lấy số lớn hơn trừ đi số nhỏ hơn

Bước 3. Dấu của hiệu là dấu ban đầu của số lớn hơn ở bước 2, ta có tổng cần tìm.

Lưu ý: Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

Tính chất phép cộng các số nguyên: tính giao hoán, kết hợp, cộng với số 0, cộng với số đối.

6. Phép trừ số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b:

\(a-b=a+\left(-b\right).\)

Lưu ý: Phép trừ trong \(\mathbb{Z}\) luôn thực hiện được.

7. Quy tắc dấu ngoặc

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "+" đằng trước thì giữ nguyên dấu của các số hạng trong ngoặc.

                                                  \(a+\left(b+c\right)=a+b+c;\)

                                                  \(a+\left(b-c\right)=a+b-c.\)

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu "-" đằng trước, ta phải đổi dấu của các số hạng trong ngoặc: dấu "+" thành dấu "-" và dấu "-" thành dấu "+".

​                                                  \(a-\left(b+c\right)=a-b-c;\)

                                                  \(a-\left(b-c\right)=a-b+c.\)

8. Phép nhân hai số nguyên khác dấu

Quy tắc:

Bước 1. Bỏ dấu "-" ở trước số nguyên âm, giữ nguyên số còn lại

Bước 2. Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1

Bước 3. Thêm dấu "-" trước kết quả nhận được ở Bước 2, ta có tích cần tìm.

9. Phép nhân hai số nguyên dương

Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0.

10. Phép nhân hai số nguyên âm

Để nhân hai số nguyên âm, ta làm như sau: 

Bước 1. Bỏ dấu "-" trước mỗi số

Bước 2. Tính tích của hai số nguyên dương nhận được ở Bước 1, ta có tích cần tìm.

Cách nhận biết dấu của tích:

• \(\left(+\right).\left(+\right)\rightarrow\left(+\right)\)
• \(\left(-\right).\left(-\right)\rightarrow\left(+\right)\)
• \(\left(+\right).\left(-\right)\rightarrow\left(-\right)\)
• \(\left(-\right).\left(+\right)\rightarrow\left(-\right)\)

Phép nhân trong tập hợp các số nguyên có các tính chất giống như trong tập hợp số tự nhiên.

• \(a.0=0.a=0.\)
• \(a.b=0\) thì hoặc \(a=0\) hoặc \(b=0\).

11. Phép chia hết trong tập hợp các số nguyên

Tính chất chia hết trong tập hợp số nguyên giống với trong tập hợp số tự nhiên.

12. Quan hệ chia hết

Cho hai số nguyên a, b, với b ≠ 0. Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói:

• a chia hết cho b;
• a là bội của b;
• b là ước của a.