Bài tập cuối chương II

1. Quan hệ chia hết

Cho hai số tự nhiên a và b (b ≠ 0).

Nếu có số tự nhiên k sao cho a = kb thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu là a ⋮ b.

Nếu a không chia hết cho b ta kí hiệu là \(a⋮̸b\).

Ví dụ:

• 30 ⋮ 5 vì 30 = 6.5.
• 45 \(⋮̸\)6.​

2. Ước và bội

a) Định nghĩa

Nếu a chia hết cho b, ta nói b là ước của a và a là bội của b.

Kí hiệu: Ư(a) là tập hợp các ước của a, B(b) là tập hợp các bội của b.

Ví dụ: 90 chia hết cho 15. 

Khi đó, ta nói 15 là ước của 90, 90 là bội của 15.

b) Cách tìm ước và bội

• Muốn tìm các ước của a (a > 1), ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem a chia hết cho những số nào thì các số đó là ước của a.
• Ta có thể tìm bội của một số khác 0 bằng cách nhân số đó lần lượt với 0; 1; 2; 3; ...

Ví dụ: 

a) Để tìm ước của 15, ta lần lượt chia 15 cho các số từ 1 đến 15, ta thấy 15 chia hết cho 1; 3; 5; 15 nên Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.

b) Để tìm bội của 4, ta lần lượt nhân 4 với 0; 1; 2; 3; 4; 5; ... ta được các bội của 4 là 0; 4; 8; 12; 16; 20; ...

3. Tính chất chia hết của một tổng (hiệu)

4. Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5 và 9

5. Số nguyên tố và hợp số

• Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.
• Hợp số là số tự nhiên lớn hơn 1, có nhiều hơn 2 ước.

Ví dụ:

+) 29 là số nguyên tố vì chỉ có hai ước là 1 và 29.

+) 35 là hợp số vì ngoài hai ước là 1 và 35, nó còn có thêm ước là 7.

6. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

• Mọi hợp số đều có thể phân tích được thành tích của các thừa số nguyên tố. 
• Người ta quy ước dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của một số nguyên tố là chính nó.
• Khi phân tích một số ra thừa số nguyên tố, trong kết quả ta thường viết các thừa số theo thứ tự từ bé đến lớn và viết tích các thừa số giống nhau dưới dạng lũy thừa.

Ví dụ. Vì 50 = 2.5.5 nên khi phân tích số 50 ra thừa số nguyên tố ta được 50 = 2.5².

Có thể phân tích một số ra thừa số nguyên tố bằng nhiều phương pháp như sơ đồ cột, sơ đồ cây. Nhưng dù bằng phương pháp nào thì cuối cùng cũng ra một kết quả.

7. Ước chung và ước chung lớn nhất

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Kí hiệu: ƯC(a, b) là tập hợp các ước chung của a và b.

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập các ước chung của các số đó.

Kí hiệu: ƯCLN(a, b) là ước chung lớn nhất của a và b.

Ví dụ: ƯC(6, 9) = {1; 3}; ƯCLN(6, 9) = 3.

Chú ý:

+) x ∈ ƯC(a, b, c) nếu a ⋮ x, b ⋮ x và c ⋮ x.

+) Nếu a ⋮ b thì ƯCLN(a, b) = b.

+) Số 1 chỉ có một ước là 1. Do đó với mọi số tự nhiên a và b, ta có

ƯCLN(a, 1) = 1; ƯCLN(a, b, 1) = 1.

8. Cách tìm ước chung lớn nhất

Cách 1. Tìm ước chung lớn nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung;

Bước 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Cách 2.  Tìm ước chung từ ước chung lớn nhất

Để tìm ước chung lớn nhất của các số, ta có thể làm như sau:

1. Tìm ƯCLN của các số đó.
2. Tìm các ước của ƯCLN đó.

Ví dụ. Biết ƯCLN(a, b) = 25. Khi đó ƯC(a, b) = Ư(25) = {1; 5; 25}.

9. Rút gọn về phân số tối giản

• Phân số \(\dfrac{a}{b}\) được gọi là phân số tối giản nếu a và b không có ước chung nào khác 1, nghĩa là ƯCLN(a, b) = 1.
• Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác 1 (nếu có).
• Để đưa một phân số \(\dfrac{a}{b}\) chưa tối giản về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho ƯCLN(a, b).

Ví dụ: \(\dfrac{9}{21}\) là phân số chưa tối giản vì ƯCLN(9, 21) = 3 (khác 1).

Để rút gọn \(\dfrac{9}{21}\) về phân số tối giản, ta chia 9 và 21 cho ước chung lớn nhất của chúng là 3. Ta được \(\dfrac{9}{21}=\dfrac{9:3}{21:3}=\dfrac{3}{7}\).

9. Bội chung và bội chung nhỏ nhất 

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Kí hiệu:

• BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b.
• BCNN(a, b) là bội chung nhỏ nhất của a và b.

Chú ý: 

• Ta chỉ xét bội chung của các số khác 0.
• x ∈ BC(a, b) nếu x ⋮ a, x ⋮ b.
• x ∈ BC(a, b, c) nếu x ⋮ a, x ⋮ b, x ⋮ c.

Ví dụ: BC(15, 18) = {0; 90; 180; 270; 360; ...}, BCNN(15, 18) = 90.

10. Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Cách 1. Tìm bội chung nhỏ nhất bằng cách phân tích các số ra thừa số nguyên tố

Các bước tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớn hơn 1:

1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng;
3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất. Tích đó là BCNN cần tìm.

Cách 2: Tìm bội chung từ bội chung nhỏ nhất

Để tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể làm như sau:

1. Tìm BCNN của các số.
2. Tìm các bội của BCNN đó.

11. Quy đồng mẫu các phân số

Vận dụng BCNN để tìm mẫu chung của hai phân số

Để quy đồng mẫu hai phân số \(\dfrac{a}{b}\) và \(\dfrac{c}{d}\), ta phải tìm mẫu chung của hai phân số đó. Thông thường ta nên chọn mẫu chung là bội chung nhỏ nhất của hai mẫu.

Ví dụ. Để quy đồng mẫu hai phân số \(\dfrac{3}{5};\dfrac{8}{9}\), ta làm như sau:

Tìm BCNN(5, 9): Ta có BCNN(5, 9) = 5.9 = 45. 

Tìm các phân số bằng hai phân số \(\dfrac{3}{5};\dfrac{8}{9}\) và có mẫu là 45:

Khi đó ta có được \(\dfrac{3}{5}=\dfrac{3.9}{5.9}=\dfrac{27}{45}\); \(\dfrac{8}{9}=\dfrac{8.5}{9.5}=\dfrac{40}{45}\).