Bài 6: Giải bài toán bằng cách lập phương trình.

1. Biểu diễn một đại lượng bởi biểu thức chứa ẩn

Trong thực tế, nhiều đại lượng biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Nếu kí hiệu một trong các đại lượng ấy là \(x\) thì các đại lượng khác có thể được biểu diễn bởi một biểu thức của ẩn \(x\).

Ví dụ 1: Nếu vận tốc của một ô tô là \(x\) (km/h) thì:

+) Thời gian mà ô tô ấy đi hết 100 (km) được biểu diễn là: \(\dfrac{100}{x}\)(h); 

+) Quãng đường ô tô đi trong 10(h) được biểu diễn là: \(10x\) (km).

Ví dụ 2: Một hình chữ nhật có chiều dài là \(x\) (cm), biết chiều dài hơn chiều rộng là 2 (cm) thì:

+) Chiều rộng của hình chữ nhật được biểu diễn là: \(x-2\) (cm),

+) Chu vi hình chữ nhật được biểu diễn là: \(\left(x+x-2\right).2\) (cm),

+) Diện tích hình chữ nhật được biểu diễn là: \(x\left(x-2\right)\) (cm²)

Ví dụ 3: Một tam giác vuông có cạnh đáy là \(x\) (cm), nếu chiều cao của tam giác là 6cm thì diện tích của tam giác vuông đó được biểu diễn là: \(\dfrac{1}{2}.x.6\) (cm²)

2. Ví dụ về giải bài toán bằng cách lập phương trình

Tóm tắt các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình:

           - Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn.

           - Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

           - Lập phương trình biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình.

Bước 3: Trả lời: Kiểm tra trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không, rồi kết luận.

Ví dụ 1: Năm nay tuổi mẹ gấp 3 lần tuổi Phương. Phương tính rằng 13 năm nữa thì tuổi mẹ sẽ gấp 2 lần tuổi Phương. Hỏi năm nay Phương mấy tuổi?

Giải:

Gọi số tuổi hiện nay của Phương là \(x\) (tuổi) (\(x\) nguyên dương)

Tuổi mẹ hiện nay là: \(3x\)(tuổi)

Sau 13 năm nữa, số tuổi của Phương là: \(x+13\) (tuổi)

Sau 13 năm nữa, số tuổi của mẹ là: \(3x+13\) (tuổi)

Sau 13 năm nữa tuổi mẹ gấp 2 lần tuổi Phương nên ta có phương trình: \(3x+13=2\left(x+13\right)\)

Giải phương trình trên ta được:

\(3x+13=2\left(x+13\right)\)

\(\Leftrightarrow3x+13=2x+26\)

\(\Leftrightarrow3x-2x=26-13\)

\(\Leftrightarrow x=13\) (thoả mãn)

Vậy hiện nay tuổi của Phương là 13 tuổi.

Ví dụ 2: Một người đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 20km/h. Khi từ B quay về A người đó tăng vận tốc thêm 4 km/h nên thời gian lúc về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính quãng đường AB.

Giải:

Gọi quãng đường AB là \(x\) (km/h)

Vận tốc lúc đi là 20km/h nên thời gian đi là: \(\dfrac{x}{20}\) (h)

Vận tốc lúc về là 20+4=24 (km/h) nên thời gian về là: \(\dfrac{x}{24}\) (h)

Vì thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút = \(\dfrac{1}{2}\) giờ nên ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{20}-\dfrac{x}{24}=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{6x}{120}-\dfrac{5x}{120}=\dfrac{60}{120}\)

\(\Leftrightarrow6x-5x=60\)

\(\Leftrightarrow x=60\) (t/m)

Vậy quãng đường AB là 60km.