Bài 6. Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng

1. Chia hết và chia có dư

Cho hai số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0. Ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên q và r sao cho a = bq + r, trong đó 0 ≤ r < b. Ta gọi q và r lần lượt là thương và số dư trong phép chia a cho b.

• Nếu r = 0 tức a = b.q, ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a ⋮ b và ta có phép chia hết a : b = q.
• Nếu r ≠ 0, ta nói a không chia hết cho b, kí hiệu a \(⋮̸\) b  và ta có phép chia có dư.

Ví dụ 1. Hãy tìm số dư trong phép chia mỗi số sau đây cho 5: 341; 1 250; 67; 198.

Giải:

• Có 341 = 5.68 + 1. Do đó số dư trong phép chia 341 cho 5 là 1.
• Có 1 250 = 5.250. Do đó số dư trong phép chia 1 250 cho 5 là 0.
• Có 67 = 5.13 + 2. Do đó số dư trong phép chia 67 cho 5 là 2.
• Có 198 = 5.39 + 3. Do đó số dư trong phép chia 198 cho 5 là 3.

Ví dụ 2. 

a) Có thể chia đều 42 học sinh thành 3 hàng (mỗi hàng có số học sinh như nhau) được không? 

b) Có thể chia đều 42 học sinh thành 4 hàng (mỗi hàng có số học sinh như nhau) được không? 

Giải:

a) Vì 42 = 3.14 nên có thể chia đều 42 học sinh thành 3 thàng, mỗi hàng có 14 học sinh.

b) Vì 42 = 4.10 + 2 nên không thể chia đều 42 học sinh thành 4 hàng, vì vẫn còn thừa 2 em..

2. Tính chất chia hết của một tổng

Tính chất 1: Cho a, b là các số tự nhiên, n khác 0. Nếu a ⋮ n và b ⋮ n thì (a + b) ⋮ n.

Ví dụ 1. Tổng \(32.11+8.651\) có chia hết cho 8 hay không?

Giải:

Vì 32.11 chia hết cho 8 và 8.651 chia hết cho 8 nên (32.11 + 8.651) chia hết cho 8.

Lưu ý.

• Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu (a ≥ b): Nếu a ⋮ n và b ⋮ n thì (a - b) ⋮ n.
• Tính chất 1 có thể mở rộng cho một tổng có nhiều số hạng: Nếu a⋮n, b⋮n, c⋮n thì (a + b + c) ⋮ n.
• Trong một tổng, nếu mọi số hạng đều chia hết cho cùng một số thì tổng cũng chia hết cho số đó.

Tính chất 2: Cho a, b, n là các số tự nhiên, n khác 0. Nếu a \(⋮̸\) n và b ⋮ n thì (a + b) \(⋮̸\) n.

Lưu ý.

• Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu (a > b):

    + Nếu a \(⋮̸\) n, b ⋮ n thì (a - b) \(⋮̸\) n.

    + Nếu a ⋮ n, b \(⋮̸\) n thì (a - b) \(⋮̸\) n.

• Tính chất 2 có thể mở rộng cho một tổng có nhiều số hạng:

     Nếu a \(⋮̸\) n, b ⋮ n, c ⋮ n thì (a + b + c) \(⋮̸\) n.

     Nếu trong một tổng chỉ có đúng một số hạng không chia hết cho một số, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đó.

Ví dụ 2. Tổng 29 + 155 có chia hết cho 5 hay không? Vì sao?

Giải:

Vì 29 \(⋮̸\) 5 và 155 ⋮ 5 nên (29 + 155) \(⋮̸\) 5

Ví dụ 3. Tìm một giá trị a để M = 21 + a + 56 chia hết cho 7; không chia hết cho 7.

Giải:

Vì 21 ⋮ 7 và 56 ⋮ 7 nên để M chia hết cho 7 thì a chia hết cho 7. Vậy ta chọn a = 70.

Để M không chia hết cho 7 thì a không chia hết cho 7. Vậy ta chọn a = 5.