Nội dung lý thuyết
Xét hai đường thẳng \(\left(d_1\right):y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(\left(d_2\right):y=a'x+b'\left(â'\ne0\right)\)
Ở bài trước ta đã biết:
+) Đường thẳng \(y=ax+b\) song song với đường thẳng \(y=ax\).
+) Đường thẳng \(y=a'x+b'\) song song với đường thẳng \(y=a'x\).
Mà cả hai đường thẳng \(y=ax,y=a'x\) đều đi qua gốc tọa độ
\(\Rightarrow\) Khi hai đường thẳng \(y=ax,y=a'x\) trùng nhau, tức là \(a=a'\), thì hai đường thẳng \(\left(d_1\right),\left(d_2\right)\) song song hoặc trùng nhau.
Cụ thể, ta có kết luận:
Hai đường thẳng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(y=a'x+b'\left(a'\ne0\right)\)
- Song song với nhau \(\Leftrightarrow\)\(\left\{{}\begin{matrix}a=a'\\b\ne b'\end{matrix}\right.\).
- Trùng nhau \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}a=a'\\b=b'\end{matrix}\right.\).
Ví dụ 1: Hai đường thẳng \(y=2x+1\) và \(y=2x-5\) là hai đường thẳng song song với nhau.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng \(y=\left(a-2\right)x+2\) và đường thẳng \(y=-x+3\). Do \(2\ne3\) nên để hai đường thẳng trên song song thì \(a-2=-1\Leftrightarrow a=1\).
Ta đã biết: Khi \(a=a'\) thì hai đường thẳng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(y=a'x+b'\left(a'\ne0\right)\) hoặc song song hoặc trùng nhau và ngược lại. Như vậy, khi \(a\ne a'\) thì hai đường thẳng trên cắt nhau và ngược lại.
Ta có kết luận:
Hai đường thẳng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(y=a'x+b'\left(a'\ne0\right)\) cắt nhau khi và chỉ khi \(a\ne a'\).
Ví dụ 1: Hai đường thẳng \(y=-\dfrac{1}{2}x+5\) và \(y=x-2\) là hai đường thẳng cắt nhau vì \(-\dfrac{1}{2}\ne1\).
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng \(y=\left(2m-1\right)x-2\) và \(y=-x+3\). Hai đường thẳng trên cắt nhau \(\Leftrightarrow2m-1\ne-1\Leftrightarrow2m\ne0\Leftrightarrow m\ne0\).
Chú ý: Khi \(a\ne a',b=b'\) thì hai đường thẳng có cùng tung độ gốc. Khi đó, chúng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ \(b\).
Bài tập: Cho hai hàm số bậc nhất \(y=\left(2m+1\right)x-2m\) và \(y=\left(m-3\right)x+4\). Tìm điều kiện của tham số \(m\) để đồ thị của hai hàm số trên:
a) Cắt nhau.
b) Song song với nhau.
c) Trùng nhau.
d) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
Lời giải:
Để hai hàm số trên là hàm số bậc nhất \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+1\ne0\\m-3\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-\dfrac{1}{2}\\m\ne3\end{matrix}\right.\) (*).
a) Hai đồ thị hàm số cắt nhau \(\Leftrightarrow2m+1\ne m-3\)
\(\Leftrightarrow2m-m\ne-3-1\Leftrightarrow m\ne-4\).
Vậy giá trị của \(m\) để đồ thị của hai hàm số cắt nhau là \(m\ne-4;m\ne-\dfrac{1}{2};m\ne3\).
b) Hai đồ thị hàm số song song với nhau \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+1=m-3\\-2m\ne4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-4\\m\ne-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-4\).
Kết hợp điều kiện (*) ta được giá trị cần tìm của \(m\) để hai đồ thị song song nhau là \(m=-4\).
c) Hai đồ thị hàm số trùng nhau \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+1=m-3\\-2m=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=-4\\m=-2\end{matrix}\right.\) (vô lí).
Vậy không có \(m\) để hai đồ thị trùng nhau.
d) Hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m+1\ne m-3\\-2m=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-4\\m=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=-2\).
Kết hợp điều kiện (*) ta được giá trị của \(m\) để hai đồ thị cắt nhau tại một điểm trên trục tung là \(m=-2\).