Nội dung lý thuyết
Chú ý: Ta chỉ xét những phương trình mà hai vế của nó là hai biểu thức hữu tỉ của ẩn, không chứa ẩn ở mẫu và đưa được về dạng \(ax+b=0\) hay \(ax=-b\)
Ví dụ 1: Giải phương trình \(2x-\left(3-5x\right)=4\left(x+3\right)\)
Phương pháp giải:
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc:
\(2x-3+5x=4x+12\)
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một phía, các hằng số sang vế bên kia:
\(2x+5x-4x=12+3\)
- Thu gọn cả 2 vế và giải phương trình:
\(3x=15\Leftrightarrow x=5\)
Ví dụ 2: Giải phương trình \(\dfrac{5x-2}{3}+x=1+\dfrac{5-3x}{2}\).
Phương pháp giải:
- Quy đồng mẫu số ở cả 2 vế:
\(\dfrac{2\left(5x-2\right)}{6}+\dfrac{6x}{6}=\dfrac{6}{6}+\dfrac{3\left(5-3x\right)}{6}\)
- Nhân 2 vế với 6 để khử mẫu:
\(2\left(5x-2\right)+6x=6+3\left(5-3x\right)\)
- Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc:
\(10x-4+6x=6+15-9x\)
- Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số ở vế bên kia:
\(10x+6x+9x=6+15+4\)
- Thu gọn cả 2 vế và giải phương trình:
\(25x=25\Leftrightarrow x=1\)
Ví dụ 3: Giải phương trình \(\dfrac{\left(3x-1\right)\left(x+2\right)}{3}-\dfrac{2x^2+1}{2}=\dfrac{11}{2}\)
Giải:
\(\dfrac{\left(3x-1\right)\left(x+2\right)}{3}-\dfrac{2x^2+1}{2}=\dfrac{11}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(3x-1\right)\left(x+2\right)}{6}-\dfrac{3\left(2x^2+1\right)}{6}=\dfrac{33}{6}\)
\(\Leftrightarrow2\left(3x-1\right)\left(x+2\right)-3\left(2x^2+1\right)=33\)
\(\Leftrightarrow\left(6x^2+10x-4\right)-\left(6x^2+3\right)=33\)
\(\Leftrightarrow6x^2+10x-4-6x^2-3=33\)
\(\Leftrightarrow10x=33+4+3\)
\(\Leftrightarrow10x=40\)
\(\Leftrightarrow x=4\)
Vậy phương trình có tập nghiệm \(S=\left\{4\right\}\).
Chú ý:
- Khi giải phương trình, ta thường tìm cách biến đổi để đưa phương trình đó về dạng đã biết cách giải (thường là phương trình \(ax+b=0\) hay \(ax=-b\)). Việc bỏ ngoặc, quy đồng mẫu hay chuyển vế là các cách thường dùng nhằm mục đích đó. Trong một vài trường hợp ta có thể có cách biến đổi đơn giản hơn.
Ví dụ 4. Giải phương trình \(\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x-1}{3}-\dfrac{x-1}{6}=2\).
Giải:
\(\dfrac{x-1}{2}+\dfrac{x-1}{3}-\dfrac{x-1}{6}=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}\right)=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right).\dfrac{2}{3}=2\)
\(\Leftrightarrow x-1=3\)
\(\Leftrightarrow x=4\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S=\left\{4\right\}\).
Khi giải phương trình trên, ta thấy rằng các hạng tử ở vế trái đều có nhân tử chung là \(x-1\), nên thay vì quy đồng khử mẫu ta có thể đặt nhân tử chung để thu gọn quá trình làm bài.
- Quá trình giải có thể dẫn đến trường hợp đặc biệt là hệ số của ẩn bằng \(0\). Khi đó, phương trình có thể vô nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi \(x\) hay chính là vô số nghiệm.
Ví dụ 5: Ta có \(x-1=x+1\Leftrightarrow x-x=1+1\Leftrightarrow0x=2\) (vô lí)
Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 6: Ta có \(x+1=x+1\Leftrightarrow x-x=1-1\Leftrightarrow0x=0\) (luôn đúng)
Phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\).